Втреугольнике abc медианы ak и bp пересекаются в точке м. площадь треугольника mkp=1. найдите площадь треугольника авс.

PK окажется средней линией треугольника АВС
АВКР --трапеция, медианы окажутся ее диагоналями))
про трапецию известно, что
треугольники, опирающиеся на ее основания, подобны,
треугольники, опирающиеся на ее боковые стороны равновелики)))
площади подобных треугольников
относятся как квадрат коэффициента подобия,
площади треугольников с равными высотами
относятся как их основания)))
медианы треугольника делятся точкой их пересечения
в отношении 2:1, считая от вершины...

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);
2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;
3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;
4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу.
5) треугольник СОD (по теореме Пифагора):
CD^2 = CO^2 + OD^2
CD = корень [CO^2 + OD^2] = корень [3^2 + 4^2] = 5
6) Обозначим  CF = m
тогда FD = 5-m
OF = r (радиус)
Треугольник СFО (по теореме Пифагора):
r^2 + m^2 = OC^2  
r^2 + m^2 = 3^2  
откуда r^2 = 9 - m^2   

7) Треугольник ОFD (по теореме Пифагора):
r^2 + (5-m)^2 = OD^2  
r^2 + (5-m)^2 = 4^2  
Подставим из 6):
9 - m^2  +  (5-m)^2 = 4^2  
9 - m^2  +  5^2 - 2*5*m + m^2 = 4^2  
9  +  25 - 10m = 16
10m = 18
m = 1.8

8) Подставим результат в 6):
 r^2 = 9 - m^2 = 9 - 1,8^2 = 5,76

9) площадь круга S = П*r^2 = 5,76П ~ 18,096

В решении этой задачи применима теорема Пифагора. 

Смотрите рисунок, данный во вложении.

Если продолжить расстояние от точки А - проекции М на прямую α -

 

на длину расстояния от точки N до ее проекции В,

 

и соединить конец С этого отрезка с N,

 

получим прямоугольный треугольник MСN,

 

в котором известны гипотенуза MN=13 см,

 

и меньший катет МС=2+3=5 см

Если знаете несколько из Пифагоровых троек, а это как раз такая тройка (13,5,12), то, возможно, догадаетесь, что СN =12 см

По теореме Пифагора:
СN²=MN²- МС²= 169-25=144
СN=12 см
АВ=СN=12 см
ответ: Искомое расстояние равно 12 см