Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника в 8 раз меньше, чем эта сторона.найдите площадь прямоугольника если его периметр равен 80 см.

Обозначим прямоугольник ABCD, точку пересечения диагоналей - K, а расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника - KE. Тогда из условия задачи получим, что сторона BC

Кроме того, так как у нас прямоугольник, то сторона

Периметр равен сумме всех сторон, а так как дан прямоугольник, то
, т.к. BC=AD, а AB=CD.
Вместо BC и AB подставляем

Находим KE: 

Находим стороны прямоугольника
BC=8*4=32см, AB=2*4=8см
Площадь прямоугольника

В прямоугольнике точка пересечения диагоналей совпадает с точкой серединных перпендикуляров сторон. 
Расстояние от точки пересечения - х см;
сторона - 8х см;
другая сторона - 2х см;
периметр - (8х+2х)*2=80;
10х=40
х=4 см;
4*2= 8 см - одна сторона;
4*8=32 см - другая сторона;
площадь - 8*32=256 см².

Из вершины В продлим сторону параллельную CL до пересечения продления стороны АС так что EC = BC; ∠ EBD = ∠BCL = α  как накрест лежащие при EB || CL и секущей BC.

∠BEC = ∠EBC ⇒ ΔEBC — равнобедренный. Из этого треугольника

EB = 2BC * cosα (высота, проведенная к ЕВ, делит на два равных прямоугольных треугольника, отсюда и легко найти).

ΔCLA ~ ΔEBA следовательно из подобия

BC = CE, тогда

Среднее гармоническое двух чисел a;b : , а среднее геометрическое - . . В данном случае достигает максимума, когда выполняется равенство а=b.

Т.к. α — постоянная величина ; среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического и достигает максимума , тогда и только тогда, когда AC=BC , а значит треугольник равнобедренный, отсюда CL - высота и медиана

По т. Пифагора из треугольника OLA:

OC = OA = R, окончательно имеем:

Рассмотрим ΔАВС и ΔАВС1. Продолжим биссектрисы CL и С₁L₁ до пересечения с описанной окружностью в точке Р. ∠АСP = ∠ВСР ⇒ ∪АР = ∪ВР . Хорды, стягивающие равные дуги, равны ⇒ АР = ВРПусть СР будет больше С₁Р, тогда проекция отрезка РL на прямую АВ меньше проекции отрезка РL₁С₁L₁ = C₁P - PL₁ < C₁P - PL < CP - PL = CLКонечно, можно сравнивать и 3, и 4 таких отрезков, но не будем терять время. Поэтому, чем ближе искомая биссектриса к диаметру , тем она длиннее. Таким образом, наибольшее значение биссектрисы будет у равнобедренного треугольника ABC₂ , С₂L₂  - искомаяПерпендикуляр, опущенный на АВ, проходит через его середину и центр описанной окружности.В ΔАОL₂:  OL₂= √(AO² - AL₂²) = √(R² - (c/2)²) = 0,5•√(4R² - c²)C₂L₂ = C₂O + OL₂ = R + 0,5•√(4R² - c²)ОТВЕТ: R + 0,5•√(4R² - c²)