На рисунке 67, б, а изображена треугольная пирамида oabc, основанием которой является прямоугольный треугольник асв (угол асв=90 градусов) , угол сав =30 градусов, ас= 8 см. ребро ос пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна 4 см. вычислить градусную меру угла наклона высоты оf треугольника оав к плоскости основания.

************************************

 ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Объяснение:

По условию :

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7 см ,  гипотенуза АВ = 14 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14 = 7 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °

ВН = 3√2 ед.

Sabc = 9√2 ед².

Объяснение:

Найдем стороны треугольника:

|AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²+(Zb-Za)²) = √(3²+3²+3²) = 3√3 ед.

|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √(-3)²+3²+3²) = 3√3 ед.

|AC| = √((Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²+(Zc-Za)²) = √(0²+6²+0²) = 6 ед.

Высота, проведенная к большей стороне, это высота ВН к стороне АС, то есть, к основанию.

Треугольник равнобедренный с основанием АС. Его высота, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть основание этой высоты - точка Н. Тогда координаты точки Н найдем из формулы: Xh = (Xa+Xc)/2  = (1+1)/2 = 1.

Yh = (Ya+Yc)/2 =  (-1+5)/2 = 2.

Zh = (Za+Zc)/2 = (2+2)/2 = 2.

Высота ВН равна |ВH| = √((Xh-Xb)²+(Yh-Yb)²+(Zh-Zb)²). Или

|BH| = √((-3)²+0²+3²) = √18 = 3√2 ед.

Площадь треугольника АВС равна

Sabc = (1/2)·AC·ВH = 9√2 ед².

Проверим: найдем высоту по Пифагору, зная боковую сторону и основание. ВН = √((3√3)² - 3²) = √18 = 3√2 ед.