Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. найдите боковое ребро и площадь полной поверхности пирамиды.

Боковое ребро равно SА = Н/sin 30° = 3/(1/2) = 6 м.
Половина диагонали основания равна ОА = SА*cos 30° = 
= 6*(√3/2) = 3√3.
Тогда сторона основания равна а = 2*(ОА*cos 45°) =
= 2*(3√3*(√2/2)) = 3√6.
Апофема равна А = √(SА² - (a/2)²) = √(6² - (3√6/2)²) =
= √(36 - 27) = √9 = 3 м.
Площадь основания So = a² = (3√6)² = 54 м².
Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)А*P =
= (1/2)*3*(4*3√6) = 18√6 м².
Площадь полной поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 54 + 18√6 = 18(3+√6) м².

Произведение очень длинное, но этот пересказ считается кратким.

Главный герой повести – 12-летний мальчик Ваня Солнцев. Он жил в одной из русских деревень. Отец Вани погиб на войне, а его мать убили немцы. Вскоре от голода умерла его сестра и бабушка, и Ваня остался один. Когда он просил милостыню в деревне, его поймали жандармы и отправили в изолятор. Ваня сбежал из изолятора и пытался перейти через линию фронта, чтобы попасть в нашу армию. Ваню нашли русские разведчики в лесу – он спал в яме и плакал во сне. Они доставили Ваню на артиллерийскую батарею, командиром которой был капитан Енакиев. Увидев Ваню, капитан вспомнил о своей жене и сыне, которые погибли во время артиллерийского налета. Он понял, что мальчику нельзя оставаться на батарее и потому распорядился отправить Ваню в тыл. Но Ваня сбежал от ефрейтора Биденко, которому было поручено доставить мальчика по назначению. Причем, сбегал он от него не один раз. В первый раз он выскочил на полном ходу из грузовика, и ефрейтор смог найти его в лесу только случайно – мальчик залез на дерево, и из его сумки выпал букварь, который Ваня носил с собой. Букварь упал прямо на голову Биденко. Потом, сев вместе с мальчиком в попутку, ефрейтор привязал его к своей руке веревкой. Ночью он время от времени дергал за веревку, проверяя на месте ли мальчик. И только утром он обнаружил, что веревка привязана к ноге женщины, которая ехала в том же грузовике.

   Ваня два дня ходил по лесу в поисках артиллерийской батареи. Он хотел поговорить с капитаном Енакиевым, так как его отправление в тыл казалось ему самому настоящим недоразумением. И как раз капитана он и встретил, правда, не зная, что это и есть Енакиев. Он рассказал ему о том, как его нашли разведчики и как он сбежал от Биденко. Капитан привез его обратно на батарею. Так Ваня стал «сыном полка».

   Вскоре разведчикам Биденко и Горбункову дали приказ разведать расположение немецких частей. Они взяли с собой Ваню, так как он еще не получил военной формы и очень был похож на маленького пастушка. А еще Ваня очень хорошо знал здешние места, и мог провести разведчиков по таким тропам, которые никто не знает. Но Ваня решил внести свой вклад в выполнение занятия и стал зарисовывать в своем букваре месторасположение бродов на реке. В этот момент его и нашли немцы. Биденко побежал к командиру, чтобы доложить о случившемся. Енакиев был очень зол на разведчиков за то, что они взяли с собой Ваню, и отправил на выручку мальчика целый отряд. Но в это время началось наступление наших частей, и немцы стали отступать, совершенно забыв про схваченного ими «пастушка». Так Ваня опять оказался у разведчиков.

   После этого Ване выдали военную форму и капитан Енакиев, который все больше привязывался к мальчику, приказал приставить его к первому орудию одного из взводов батареи для того, чтобы тот артиллеристам.

   Наши части уже подошли к границе с Германией, и батарея Енакиева готовилась к бою. Орудие, к которому был приставлен Ваня, оказалось в самом центре боя. Капитан, который как раз накануне боя поделился с наводчиком своим желанием усыновить Ваню, узнал об этом, добрался до орудия и попытался отправить Ваню в безопасное место. Но тот наотрез отказался уходить. Тогда капитан взял лист бумаги, что-то написал на нем и отдал Ване с приказом отнести записку в штаб. Ваня не мог не выполнить приказ. Он доставил пакет в штаб и отправился назад.

   Вернувшись на батарею, он узнал, что погибли все, кто находился около первого орудия – капитан Енакиев для того, чтобы прикрыть передвижение наших частей, «вызвал огонь на себя». Перед гибелью капитан написал записку, в которой просил позаботиться о Ване.   После того, как капитана похоронили, как он и просил в прощальной записке, в родной земле, ефрейтор Биденко отвез Ваню в суворовское училище.

Трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, ВС+АД=48, окружность можно вписать в трапеции при условии сумма оснований=сумма боковых сторон, ВС+АД=АВ+СД, АВ+СД=48, АВ=СД=48/2=24, 

проводим высоты ВН и СК на АД, НВСК- прямоугольник, ВС=НК, ВН=СК=диаметр вписанной окружности=6*корень3*2=12*корень3
треугольник АВН=треугольнику КСД как прямоугольные треугольники по гипотенузе и острому углу, АН=КД, треугольник АВН прямоугольный, АН=корень(АВ в квадрате-ВН в квадрате)=корень(576-432)=12

ВС+АН+НК+КД=48, ВС+12+ВС+12=48, ВС=12=НК, АД=12+12+12=36