Косинус одного из углов прямоугольного треугольника равен 0, 6. длина катета прилежащего к этому углу равна 12 см. чему равен радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника?

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет равен 12 см => гипотенуза равна 12см/cos между этим катетом и гипотенузой; гипотенуза равна 12/0,6 = 20 см. Радиусом описанной окружности будет являться точка пересечения серединные перпендикуляров, которая лежит на середине гипотенузы => r = 1/2 гипотенузы = 10 см.

Такс, с чего начать. Вообще радиус окружности считается по формуле r=p-c, где p -полупериметр треугольника в нашем случае, с - гипотенуза треугольника. 
Проведем высоту BH. 
Треугольник ABH - прямоугольный. Т.к. по условию задачи угол BAH = 30 градусов, то BH = 1\2 AB = 5 см. 
По теореме Пифагора: AH2=Ab2 - BH2
AH = корень из 75 = 5 корней из 3 см. 
Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то BH  - высота, медиана, значит AH = HC
AC = AH+HC = 10 корней из 3 см.
p = 1\2 P = AB+BC+AC = (10+10+10 корней из 3) :2 = 10 корней из 3 см2.
Найдем радиус: r = 10 корней из 3 - 10 = 10 - 10 корней из 3 см. 

1. Дано: <AOB и <BOC - смежные
             ОD - биссектриса <AOB
             OF - биссектриса <BOC
            <AOD : <FOC =2 : 7
  Найти <AOD и <FOC.
Решение:
2 <AOD + 2<FOC=180°
<AOD+<FOC=90°
<AOD=2x
<FOC=7x
2x+7x=90°
9x=90°
x=10°
<AOD=2*10°=20°
<FOC=7*10°=70°
ответ: <AOD=20°
           <FOC=70°

2. Дано: <EAC=<DCA
             DF=EF
  Доказать, что ΔABC-равнобедренный.
Док-во:
1. Так как <EAC=<DCA (по условию), то ΔAFC- равнобедренный. Отсюда 
AF=FC.
Так как DC=DF+FC  и   AE=AF+EF, то DC=AE.
2. ΔDCA=ΔEAC (по 1-ому признаку равенства Δ: DC=EA, <EAC=<DCA (по условию); AC-общая сторона).
Из равенства Δ следует, что <DAC=<ECA.
<DAC=<BAC
<ECA=<BCA.
Отсюда <BAC=<BCA.
Значит ΔABC-равнобедренный.
Что и требовалось доказать.