Окружность с центром о и радиусом 16см описана около δавс так, что ∠оав-30°, ∠осв=45°. найдите стороны треугольника

Рассмотрим ΔАОВ
Он равнобедренный(т.к.АО=ОВ=радиусу)
Значит, уг ОАВ=ОВА=30
Угол АОВ=180-(2*30)=120косинус 120гр=косинусу180-120=60 гр(формулы приведения)
По теореме косинусов АВ^2=AO^2+ВО^2-2*AO*ВО*cos60
АВ^2=16*16+16*16-2*16*16*0.5=256+256-256=256
АВ=16
Рассмотрим ΔВОС , Он равнобедренный (т.к. ВО=ОС=радиусу)
угол ОСВ=СВО=45
Отсюда, угол ВОС=180-(45+45)=90
По теореме Пифагора ВС^2=OC^2+ОВ^2=16*16+16*16=512
ВС=16 корней из 2х  
ответ: АВ=16, ВС=16 корней из 2х

Пусть d, e и f - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника авс: ас, ав и вс соответственно.нам дано: ав=30см, вf=14см, fc=12см.заметим, что ве=вf=14см, dc=fc=12см, а ае=аd как касательные, проведенные из одной точки к окружности.тогда ае=ав-ве=30-14=16см, значит аd=16см. dc=fc=12см.  значит ас=ad+dc=16+12=28см.  полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28): 2=42см.есть формула для вписанной в треугольник окружности: r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.  в нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.ответ: r=8см.

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.Пусть точка О1(х;у) середина АС тогдах=(-6+6)/2=0;  у=(1-4)/2=-1,5.Пусть точка О2(х;у) середина BD тогдах=(0+0)/2=0;  у=(5-8)/2=-1,5.Значит О1 совпадает с О2 -  значит ABCD параллелограмм.О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2АС^2=12^2+(-5)^2АС^2=144+25AC^2=169AC=13BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2BD^2=0^2+(-13)^2BD^2=0+169BD^2=169BD=13AC=BDABCD - прямоугольник