Объем конуса равен 10. через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. найдите объем меньшего конуса.

Объем  конуса  вычисляется  по  формуле:   v  =  1/3  *  п * r^2  *  h для  удобства  лучше  рассматривать треугольник,  полученный  в  результате  осевого  сечения,  допустим  авс.  плоскость,  параллельна  основанию,  пересекает  этот  треугольник  по  прямой  мк.  поскольку плоскость параллельна  основанию  и  проходит через  середину  высоты,  то  мк  -  средняя  линия  треуг.  авс  и  мк  =ас/2.  значит  в  полученном  конусе вдвое  меньше  высота  и  радиус.  тогда  объем  меньшего  конусо: v  =  1/3  *  п  *  (r/2)^2  *  h/2  =  1/3  *  п  * (r^2)/4  *  h/2  =  1/3 * п  *  (r^2 *  h)  /  8 сравнив  формулы  объема  конусов  видно,  что  объем  второго  конуса  меньше  в  8  раз. v  =  40  ^  8  =  5.

Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают между собой. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны." Решение: Итак, треугольники АМD и DNC - равны между собой, так как AD=DC (BD- медиана), NC=МA (так как МВ=BN - дано, а АВ=ВС - треугольник АВС равнобедренный) и улы ВАС и ВСА между равными сторонами равны. Из равенства тр-ков вытекает равенство сторон МD и ND. Что и требовалось доказать

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.

PS    построения не сложные. - прямая, 2 точки на ней, одна точка вне прямой и два отрезка, соединяющие эту точку с точками на прямой..))) Но, если очень надо, - то файлик внизу с рисунком..))  И еще. Упоминание о том, что все это происходит на плоскости, - желательно. Дело в том, что всем нам с детства знакомы меридианы на географической сетке Земного шара. Так вот каждый меридиан перпендикулярен экватору, и все меридианы сходятся аж в двух точках : в Северном и Южном полюсах