Втреугольнике авс угол с = 90˚. cd – высота ∆ авс, ав = 20 см, ad= 16 см. найдите cd. ответ дайте в сантиметрах.

1) координаты векторов находим по формуле:  

x = xj - xi; y = yj - yi; z = zj - zi  

здесь x,y,z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки аi; xj, yj, zj - координаты точки аj;  

например, для вектора ав

x = x2 - x1; y = y2 - y1; z = z2 - z1  

x = 9-5; y = ); z = -6-4  

ав(4; 4; -10),     ас(2; 11; -18),     ад(0; 2; -7).

2) угол а между векторами ав и ас равен.

модули: ав =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.

                ас = √(4 + 121 + 324) = √449  

cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.

а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.

3) проекция вектора ад на вектор ав.

решение:   пр ba =   (a · b)/|b|.

найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78

модуль вектора b = ав определён и равен √132 = 2√33.

пр ba =   78/(2√33) =   13√33 / 11   ≈ 6.78903.

4) площадь грани авс равна половине модуля векторного произведения векторов ав и ас.

векторное произведение:  

i j k

4 4 -10

2 11 -18

=   i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.

s = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) =                             √5444   ≈ 36,89173.

5) объем пирамиды авсд равен (1/6) смешанного произведения векторов (ав х ас) х ад.

(ав х ас) =   (38; 52; 36), ад(0; 2; -7) - определено выше.

(ав х ас) х ад = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148

s = (1/6)*148 = 24,6667.

пусть диагональ прямоугольника равна х. так как диагональ прямоугольника - это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника, а стороны его равны х-8 и х-9 (они меньше диагонали), то по пифагору

(х-8)² +(х-9)² = х².   раскроем скобки   =>   х² - 34х +145 = 0.

решаем квадратное уравнение. х1 = 17+12 = 29 и х2 = 17-12=5. второе значение не удовлетворяет условию. значит х = 29.

тогда стороны прямоугольника равны 20 ед и 21 ед. , а его периметр равен 2*(20+21) = 82 ед.это ответ.