Вправильной четырех угольной пирамиде высота равна 16 см, а высота боковой грани (апофема) - 21 см. найдите боковое ребро.

Половина длины стороны основания будет √(21²-16²)=√(441-256)=√185
Боковое ребро будет √(21²+(2√185)²)=√(441+740)=√1181

Трапеция АВСД, ВС=9, АД=15, проводим среднюю линию трапеции МН, которая параллельна ВС и АД, точки О и Р пересечение средней линии с диагоналями, для треугольника АВС МО=средней линии треугольника (теорема Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне угла они отсекают равные отрезки) , т.е АВ=МВ, то АО=ОС, МО=1/2ВС =9/2=4,5, То же самое для треугольника ВСД, РН - средняя линия =1/2ВС=9/2=4,5, Средняя линия трапеции МН=(АД+ВС)/2=(15+9)/2=12
ОР (отрезок соединяющий середины диагоналей)=МН-МО-РН=12-4,5-4,5=3

Построение сводится к проведению перпендикуляра из  точки к прямой. 

Из вершины А, как из центра,  раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим  эту точку К.

∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.

Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой. 

Для этого из точек К и С, как из центра,  одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А. 

Отрезок АМ разделил КС пополам и является  искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А.