2. даны координаты вершин четырехугольника abcd: а (–6; 1), в (0; 5), с (6; –4), d (0; –8 докажите, что abcd – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

1) по формуле "расстояние между 2-мя точками" найдем длины сторон ав и сд:

iавi=sqrt((0+6)^2+(5-1)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

icdi=sqrt((6-0)^2+(-4+8)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

2) аналогично: ibci=sqrt((0-6)^2+(5+4)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

                                            iadi=-0)^2+(1+8)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

3) так как противоположные стороны 4-хугольника равны, то это параллелограмм.

4) iaci=sqrt((6+6)^2+(-4-1)^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13;

      ibdi=sqrt((0-0)^2+(5+8)^2)=sqrt(169)=13;

5) параллелограмм с равными диагоналями - параллелограмм;

6) пусть точка пересечения диагоналей - точка о(х; у) - середина диагонали ас. по формулам координат середины отрезка о((6-6)/2; (-4+1)/2), т.е. о(0; -1,5).

              в

                             

                            д

 

а                               с

 

бисектрисса ад делит сторону вс на отрезки в отношении равном отношению сторон ав и ас: 5/7   пусть вдх, тогда дс=7/5х   (х: 7х/5=5/7). далее исходим из формулы площади тр-ка - 1/2 стороны на высоту к ней. проводим высоту к вс. она общая для наших двух треугольников

sacd=1/2 *h*7/5 x     sabd=1/2 *h*x     sadc/sabd=7/5

Трикутник формула площі трикутника за стороною та висотою площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника та довжини проведеної до цієї сторони висоти s = 1 a · h 2 формула площі трикутника за трьома сторонами формула герона s = √p(p - a)(p - b)(p - c) формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін помноженого на синус кута між ними. s = 1 a · b · sin γ 2 формула площі трикутника за трьома сторонам і радіусом описаного кола s = a · b · с 4r формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусом вписаного кола площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника на радіус вписаного кола. s = p · r квадрат формула площі квадрата за довжиною сторони площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони. s = a2 формула площі квадрата за довжиною діагоналі площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі. s = 1 2 d2 ромба формула площі ромба за довжиною сторони і висоти площа ромба дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти. s = a · h формула площі ромба за довжиною сторони і кутом площа ромба дорівнює добутку квадрату довжини його сторони і синуса кута між сторонами ромба. s = a2 · sin α формула площі ромба за довжинами його діагоналей площа ромба дорівнює половині добутку довжин його діагоналей. s = 1 d1 · d2 прямокутник s=a×b паролелограм паралелограм формула площі паралелограма за довжиною сторони і висоти площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторони і опущеної на цю сторону висоти. s = a · h формула площі паралелограма за двома сторонами і кутом між ними площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторін помноженому на синус кута між ними. s = a · b · sin α формула площі паралелограма за двома діагоналями і кутом між ними площа паралелограма дорівнює половині добутку довжин його діагоналей, помноженого на синус кута між ними. s = 1 d1d2 sin γ трапеция формула площі трапеції трапеція формула герона для трапеції s = a + b √(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d) |a - b| формула площі трапеції за довжиною основ і висоти площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ та висоти s = 1 (a + b) · h 2 де s - площа трапеції, a, b - довжини основ трапеції, c, d - довжини бокових сторін трапеції, p = a + b + c + d - півпериметр трапеції.