Прямоугольный треугольник с катетом 4см и гипотенузой 5см вращают вокруг данного катета. найти площадь полной поверхности образованного конуса

Данного - значит того, который задан. Вращение происходит вокруг заданного катета = 4 см.

Условие не много не дописанно , может вокруг "другого" катета ? 
Если так , то вот решение:
L  = 5 - образующая;
R = 3(sqrt(25 - 16)) - радиус вращения;

Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую : S = 1/2 * C*L = . Прощадь основ. = pir*r

S =  = 24;

Ans: 24

Задача на подобие треугольников. В таких задачах принято считать, что фонарный столб и человек ( или дерево и человек, или два дерева  и т.п.) перпендикулярны к земле и поэтому параллельны друг другу.
Пусть расстояние от основания столба до конца тени человека СА. (см. рисунок).
Обозначим столб с  фонарём ВС, человека КМ, а прямую, проходящую от фонаря до конца тени человека ВА. 
По условию СМ=5 м ( расстояние от фонаря до человека),
МА=2,5 м ( тень человека) 
 КМ=1,9 ( рост человека) 
Имеем два прямоугольных треугольника с параллельными ВС║КМ и с общим острым углом при вершине А. 
Эти треугольники подобны по  двум сторонам и углу между ними (1-му признаку подобия треугольников. )
Итак: ∆ ВСА~∆ КМА
Из подобия следует отношение:
АС:АМ=ВС:КМ
АС=СМ+АМ=7,5 (м)⇒
7,5:2,5=ВС:1,9⇒
3=ВС:1.9
ВС=3•1,9=5,7 ( метров)

  A
 |\  \
 | \   \
 |  \   \
 |   \   \
 |    \   \
 |     \   \
C B   
       H
Не очень ровный рисунок, но позволяет увидеть, где какие буквы стоят.
АН-биссектриса, следовательно делит угол А пополам, тогда
угол САН= углу ВАН = 30°.  угол АВС = 180°-90°-60°=30°
Рассмотрим треугольник АВН. 
Так как в нем угол А= углу В ( = 30°), то он является равносторонним, следовательно АН=НВ=12 см
            Нам нужно найти катет СН, так как против большего угла лежит больший катет.
            Тот же треугольник АВН. Находим угол Н, он равен 180°-30°-30°=120°.
    Рассмотрим углы АНС и АНВ, они смежные, следовательно угол АНС=180°-120°=60° ( это угол Н в треугольнике АНС)
             Рассмотрим треугольник АНС.
Угол А в нем равен 30°, а гипотенуза = 12 см, тогда, так как против угла =30° лежит катет, равный половине гипотенузы находим катет СН, он равен 12:2=6 см
                 Треугольник АВС:
Катет СВ = СН + НВ = 6 см + 12 см = 18 см
ответ: 18 см