Срешением, у трикутнику abc відрізок bk-висота, відрізок ам-бісектриса, вк=26см; ав: ас=6: 7. з точки м опущено перпендикуляр мд на строну ас.знайдіть мд? .

У меня получается, что МД=14, решение сложно напечатать

 Основания трапеции параллельны. 

Её диагонали - секущие. 

 Накрестлежащие углы при их пересечении с основаниями равны. Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, подобны по 3-м углам. 

 Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований трапеции. 

k=4/8=1/2

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.  

Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, являющиеся высотами треугольников. 

Обозначим высоту меньшего треугольника h, высоту большего - Н. 

 Тогда h/H=1/2. 

 Высота трапеции содержит 1+2 =3 части. 

Каждая часть=9:3=3 см

 Поэтому h=3 см 

Н=2•3=6 см. 

Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны 3 см и 6 см. 

*****************

Задача 2. 

Наложим данные треугольники друг на друга так, чтобы стороны их равных углов совпали. Пусть общая вершина будет В, а сами треугольники – АВС и КВМ. 

Так как оба  треугольника равнобедренные и имеют равные  углы при вершине, их углы при основаниях КМ и АС тоже равны ( свойство).  

∆ КВМ~∆ АВС. k= ВС/ ВМ=15:5=3 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его пополам. 

КО=ОМ, и АН=НС.

КО=3 ( ∆ КВО - египетский,  проверьте по т.Пифагора.) 

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

АН:КО=3. 

АН=3•3=9

АС=9•2=18 см

Р ∆ АВС=2•ВС+АС=30+18=48 см

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ABCD - четырёхугольник.

AD = BC.

AD║BC.

Точка М - середина CD.

Точка N ∈ ВС.

BN = 7.

CN = 3.

∠AMN = 90°.

Найти:

AN = ?

Так как AD = BC и AD║BC, то четырёхугольник ABCD - параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Если на одной из двух прямых последовательно отметь несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (теорема Фалеса). Проведём через точку М прямую МЕ, которая параллельна AD и пересекает сторону AN в точке F. Так как МЕ║AD и AD║ВС, то также МЕ║AD║ВС. Следовательно, по теореме Фалеса, AF = NF, AE = ЕВ.

Рассмотрим четырёхугольник ЕВСМ. Так как ЕМ║ВС (по выше доказанному) и отрезки ЕВ║МС (так как лежат на параллельных прямых), то четырёхугольник ЕВСМ - параллелограмм по определению. Тогда, по свойству параллелограмма, ВС = ЕМ = BN+NC = 7+3 = 10.

Рассмотрим ΔABN. Так как отрезок EF соединяет середины сторон АВ и AN, то EF - средняя линия, причём параллельна стороне BN, а значит, равна её половине (по свойству средней линии треугольника). EF = BN/2 = 7/2 = 3,5.

ЕМ = EF+FM ⇒ FM = ЕМ-EF ⇒ FM = 10-3,5 = 6,5.

Рассмотрим ΔANM - прямоугольный (по условию). FM - медиана, проведённая к гипотенузе, а значит, равна её половине (по свойству прямоугольного треугольника). AN = 2*FM ⇒ AN = 2*6,5 ⇒ AN = 13.

ответ: 13.