Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а диагонали – 15 см и 25 см. найдите отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения.

Как будем решать - долго, с толком, расстановкой, с иксами и нудно  или быстро , легко и наглядно?  я предпочитаю второе.

точка пересечения диагоналей с отрезками диагоналей и основаниями образует 2 подобных треугольника - их можно назвать "верхний" и "нижний"  :)
коэфф. подобия - 12:18  или 2:3  т.е  5частей на диагональ 
находим 1 часть диагонали 15  -  15:5=3 см  Тогда 2 части=2*3=6  и 3 части=3*3=9  .  Т.е. диагональ 15 см делится на 6 и 9 см.

1часть от 25см будет 25/5=5см.      2 части - 2*5=10      3 части -3*5=15
диагональ 25 делится на 10 и 15 см.

Перед копированием поверхность заготовки надо старательно очистить от пыли, загрязнений и мелких крупиц древесины. Потом ее протирают тряпочкой, смоченной в уайт-спирите, и высушивают естественным путем. Затем копировальную бумагу аккуратно накладывают на фанеру и равномерно прикрепляют с кнопок или клейкой ленты.

Сверху накладывают лист с выбранным изображением, и обводят контуры рисунка или орнамента. Замечено, что переводить эскиз через копирку лучше не карандашами, а какой-нибудь заостренной палочкой. Она может быть пластмассовой либо деревянной, изготовленной из прочной породы, например, дуба или бука.

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

A1H - перпендикуляр к плоскости (AB1D1), ∠A1AH - искомый угол.

1)

В треугольнике AB1D1 проведем высоту AK, AK⊥B1D1

AA1⊥(A1B1D1) => AA1⊥B1D1

Следовательно B1D1⊥(AA1K) и (AB1D1)⊥(AA1K)

Перпендикуляр A1H лежит в плоскости (AA1K)

(то есть в плоскости, проходящей через высоту AK)

Рассуждение верно для всех сторон △АB1D1, следовательно H - точка пересечения высот.

Рассмотрим △AB1D1, H - ортоцентр, найдем AH.

AD1 =√5, AB1 =√2 (т Пифагора)

Треугольник равнобедренный, высота к основанию является медианой.

AM =AB1/2 =√2/2

D1M =√(AD1^2 -AM^2) =√(5 -1/2) =3/√2

△AHM~△D1AM => AH/AM =AD1/D1M => AH =√2/2 *√5 *√2/3 =√5/3

cos(A1AH) =AH/AA1 =√5/3, ∠A1AH =arccos(√5/3)

2)

Найдем объем тетраэдра A1AB1D1

V= 1/3 *A1D1 *S(AA1B1) =1/3 *2 *1/2 =1/3

S(AB1D1) =1/2 *√2 *3/√2 =3/2

V= 1/3 *A1H *S(AB1D1) =1/3 *A1H *3/2

Приравниваем объемы, A1H =2/3

sin(A1AH) =A1H/AA1 =2/3, ∠A1AH =arcsin(2/3)