Авса1в1с1 – прямая треугольная призма, ас = вс = 10, ав = 12, о – точка пересечений медиан, угол c1оc = 45˚. найти объем призмы.

АВСА1В1С1 – прямая треугольная призма, АС = ВС = 10, АВ = 12, 

О – точка пересечения медиан, угол C1ОC = 45˚.  Найти объем призмы.

-----------

Объем V призмы находят произведением площади её основания на высоту. 

V=S•H

В ∆ ОСС1 - угол  С1ОС=45º, угол С1СО=90º (т.к. призма прямая и все её ребра перпендикулярны основанию)⇒ второй острый угол ∆ ОСС1 равен 45°. ⇒ ∆ АВС - равнобедренный и СС1=Н=ОС.

Точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒

ОС=2/3 медианы СН. 

СН в равнобедренном треугольнике - высота, ∆ АНС- прямоугольный.  

СН=8 ( отношение катета  АН к гипотенузе АС в ∆  АНС= 3:5, следовательно,     ∆ АНС - египетский. Можно СН и по т.Пифагора найти)

СС1=ОС=8•2/3=16/3

S (∆ ABC)=CH•AH=8•6=48

V=48•16/3=16•16=256 (ед. площади)

Ой, ну это легко!)
В прямоугольном треугольнике есть такое свойство: Если в прямоугольном треугольнике есть угол в 30 градусов, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы этого треугольника. Также есть признак: Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то напротив этого катета находится угол, равный 30 градусам! Доказательство: Дано: ∆ ABC, ∠C=90º, ∠A=30º. Доказать: ВС = 1/2АВ Доказательство: 1) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠B=90º-∠A=90º-30º=60º. 2) Проведем из вершины прямого угла медиану CF. 3) Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то CF = 1/2AB, то есть, CF=AF=BF. 4) Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC. Следовательно, у него углы при основании равны: ∠B=∠BCF=60º. 5) Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC ∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º. 6)Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний. Значит, все его стороны равны и BC=CF=BF=1/2AB. ч.т.д

1. На прямой "а" откладываем отрезок СЕ, равный PQ.
2. От точки С строим угол, равный данному (ясно из рисунка)
3. Радиусом R=P1Q1 проводим окружность с центром в точке С.
4. Из точки Е строим касательную к окружности (С;R).
Для этого радиусом, равным 0,5*СЕ проводим окружность с центром в середине О отрезка СЕ. В точке пересечения этой окружности с окружностью (С;R) получаем точку F - искомую точку касания.
5. Через точку Е и точку касания F проводим прямую до пересечения
со стороной построенного угла. Получаем точку D.
Соединив точки С, Е и D получаем искомый треугольник.

Доказательство:
СЕ=PQ. <DCE=<hk по построению.
СF - высота треугольника, так как радиус CF=P1Q1 перпендикулярен
касательной DE в точке касания.