Трапеция klmn с основаниями lm и kn вписана в окружность, центр которой лежит на kn. диагональ ln =4, угол mnk=60°. найти lm.

Решение смотри в файле

Прощадь ромба 
S = a^2*sin(α)
Площадь каждой из трёх равновеликих фигур
S = a^2*sin(α)/3
Две фигуры - это треугольники АВЕ и AFD, третья - четырёхугольник AECF
Четырёхугольник AECF в свою очередь состоит из двух равных треугольников AEC и ACF
Значит площадь треугольника ABE в два раза больше площади треугольника AEC
AH - высота для треугольника ABE и треугольника AEC
АН = АB*sin(HBA) = AB*sin(BAD) = a*sin(α)
Т.к. высота для треугольника ABE и треугольника AEC общая, то их площади относятся как основания треугольников
и ВЕ = 2EC = 2/3a
По теореме косинусов
AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(π-α) = a^2 + 4/9*a^2 + 2*a*2/3*a*cos(α) = 13/9*a^2 + 4/3*a^2*cos(α) = a^2*(13/9 + 4/3*cos(α))
AE = a*(13/9 + 4/3*cos(α))^(1/2)

• ABCD – это основание четырехугольника;
• M – вершина;
• MО – высота пирамиды (где О –
это точка пересечения диагоналей);
• МN – высота боковой грани.

Sосн = а² = 36 (где а – это сторона основания)

а = √36 = 6 (см)
Sполн = Sосн + Sбок = 96 (см)
Sбок = Sпол + Sосн
Sбок = 96 - 36=60 (см²)
Sбок = 1 : 2 * Р * L (где Р – это периметр основания, а L – высота боковой грани)
Росн = 4 * 6 = 24
S = 1: 2* 24 * L = 60
12 * L = 60
L= 60 : 12
L = 5

Используя прямоугольный треугольник МОN (где угол О = 90°) по теореме Пифагора найдём, что:

КО = Н
ОМ = 1 :2
а = 3 (см)
КМ = L = 5
КО² = КМ² - ОМ²
КО² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
КО = √16 = 4
Н = 4 (см)

ответ: 4 см.