Даны векторы a {2; -3} и b{x; -4} при каком значение x эти векторы перпендикулярны?

A×b=0
2x+12=0
2x=-12
x=-6

1. KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, КВ⊥BC.

а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.

б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC.

в) найдите KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°.

а) КВ - наклонная к плоскости ΔАВС, АВ - ее проекция, так как КВ⊥ВС, то и АВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит ΔАВС прямоугольный.

б) КА⊥(АВС), КА⊂(КАС), ⇒ (КАС)⊥(АВС), так как если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

в) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

АВ = √(АС² - ВС²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

ΔКАВ прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный,

КА = АВ = 12 см

2. ВО⊥α. ВО - искомое расстояние от точки В до плоскости α.

Пусть Н - середина АС.  Треугольник АВС равнобедренный, значит ВН - медиана и высота треугольника.

ВН⊥АС, ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит

∠ВНО = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и α.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора:

            ВН = √(АВ² - АН²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см

ΔВОН: ∠ВОН = 90°,

            ВО = ВН/2 = 8 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

3. АО⊥α.

ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.

∠АВО = ∠АСО - углы, образованные наклонными с плоскостью α.

ΔАОВ = ΔАОС по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет, ∠АВО = ∠АСО по условию), значит

АВ = АС, а так как АВ = ВС по условию, то треугольник АВС равносторонний.

Углы ΔАВС равны 60°.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (Если не в курсе, откуда это берется - отрезки касательных из одной точки до точки касания окружности равны, дальше просто все складывается :))

Поэтому в равнобедренной трапеции боковая сторона будет (54 + 24)/2 = 39.

Высота найдется из треугольника, образованного боковой стороной и частью основания - опускаем препендикуляр из вершины малого на большое основание.

Катеты этого треугольника Н и (54 - 24)/2 = 15, гипотенуза 39. Ну, дальше по Теореме Пифагора :))

Н^2 = 39^2 - 15^2 = 36^2;

H = 36.

 

Кто запоминает Пифагоровы тройки, сразу бы дал ответ - стороны этого треугольника - утроенные числа (5 12 13).