Решите лёгкие (обязательно - дано, найти, чертеж и доказательство 1. треугольник abc - равнобедренный, сd- биссектриса к основанию ав. докажите, что acd равен bcd 2. вычислите периметр равнобедренного треугольника авс, если периметр треугольника adc равен 18 cм, и cd = 6 cм и ad = bd

Решение.................

Призма АВСЕА1В1С1Е1,

АВ=ВС=СЕ=ЕА=А1В1=В1С1=С1Е1=1(без ограничения общности примем сторону основания за единицу измерения длины).

Тогда АА1=ВВ1=СС1=ЕЕ1=√2;

Угол ВАЕ = 60 градусов.

Нужно найти угол между АС и ЕС1.

Поскольку АВ1 II ЕС1, то ищем угол между АВ1 и АС. Треугольник АСВ1 - заведомо равнобедренный, АВ1=СВ1=√((√2)^2 + 1^2) = √3;

Найдем АС. Ромб в основании "сложен" из двух правильных треугольников со стороной 1, и большая диагональ АС равна 

АС = 2*1*sin(60) = 2*√3/2 = √3;

Таким образом, АСВ1 - равносторонний треугольник, и все углы в нем равны 60 градусов. Это ответ.

пусть АВС треугольник, и АС=10 гипотенуза

тогда О центр окружности

ОК, ОМ, ОР-соответственно перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, СВ и АС соответственно

ОК=ОМ=ОР=2 см

пусть АР=х, тогда СР=10-х

АВ=АК+КВ

ВС=СМ+МВ

АС=АР+РС=х+10-х=10

КВ=МВ=2 см, так как КВМО-квадрат

трреугольники АКО и АРО равны между собою, так как у них углы К и Р равны по 90

КО=ОР и АО- общая, по двум сторонам и углу между ними ( АО-бисектриса, от и имеем, АК=АР=х

аналогично треугольники РСО и MСО

РС=10-х

МС=10-х

тогда ВС=2+10-х=12-х

АВ=х+2

по теореме пифагора, для треугольника АВС, имеем

AC^2=AB^2+BC^2=(2+x)^2+(12-x)^2=4+4x+x^2+144-24x+x^2=2x^2-20x+148=100

  2x^2-20x+48=0 

  x^2-10x+24=0

D=100-96=4

x1=(10-2)/2=4

x2=(10+2)=6

x1+x2=4+6=10=AC

тоесть, если АР=6, то РС =4 или наоборот

тогда АК=6, СМ=4

АВ=АК+КВ=6+2=8

ВС=ВМ+МС=2+4= 6

кстати AB^2+BC^2=64+36=100=AC^2

тогда площадь будет 0.5*АВ*ВС(ВС-высота, а АВ основание)

S=0,5*8*6=8*3=24

ответ 24 кв. см