Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. точка о лежит на большей стороне тр-ка и является центром окружности, касающейся двух других сторон, найдите радиус окружности.

достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.

 

тока о лежит на гипотенузе.

 

вершина при прямом угле, точка о и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).

 

сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. обозначим длину этой стороны за x. расстояния от точки о до концов гипотенузы обозначим за y и z.

 

тогда для двух маленьких треугольников, получившихся   при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:

 

(5-x)^2 + x^2 = y^2 - по теореме пифагора

(12-x)^2 + x^2 = z^2 - по теоерме пифагора

y+z = 13 - так как y и z вместе гипотенузу

 

решим полученную систему уравнений:

 

1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение:

(5-x)^2 + x^2 = y^2

(12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2

 

2) раскроем скобки и подобные:

25 - 10x + 2x^2 = y^2

- 24x + 2x^2 = 25 - 26y + y^2

 

3) вычтем второе уравнение из первого и подобные:

25 + 14x = 26y - 25

 

4) выражаем y:

50 + 14x = 26y

y = (50 + 14x)/26

 

5) подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 - 10x + 2x^2 = y^2:

25 - 10x + 2x^2  = ((50 + 14x)/26)^2

25 - 10x + 2x^2 = (50 + 14x)^2 / 676

16900 - 6760x + 1352x^2 = (50 + 14x)^2 = 2500 + 1400x + 196x^2

1156x^2 - 8160x + 14400 = 0

289x^2 - 2040x + 3600 = 0

(17x)^2 - 2*17*60x + 60^2 = 0

(17x - 60)^2 = 0

17x - 60 = 0

x = 60/17

 

ответ: 60/17 

Школа – это не только место, где мы получаем новые знания, но и место, где находим новых друзей.    Каждый человек помнит свой первый день в школе. Этот день – первое сентября. Волнующий, праздничный, красивый денек. Именно с того дня я поняла слово «школа», как интересное захватывающее путешествие в мир знаний. С тех пор каждый день в школе для меня неповторим. Много близких и дорогих для себя друзей я нашла в этом месте. На каждой перемене общаешься, на каждом уроке узнаешь все больше нового и интересного. Неповторимость моей школы заключается в том, что только у нас работают такие замечательные, добрые и чуткие учителя, которые найти подход к каждому ученику. На каждом уроке они вкладывают большую часть своей души в нас. Без знаний человек не сможет прожить сегодня ни в одной стране мира. В любой точке Земли ценится человек образованный. Поэтому наши учителя каждому ребенку усвоить новый материал не только для хороших оценок, но и для качественных знаний.

Подробнее на СочинениеНа5.ру: http://sochineniena5.ru/2016/07/25/%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BD%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BC%D0%BE%D0%B5%D0%B9-%D0%B6%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B8/

Объяснение:

Биссектриса  прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

решение :   Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник  вычисляется по формуле r = ( a + b - c)/2 ,где a и b катеты , c -гипотенуза .

a / b = 3/4  (свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)

* * *Биссектриса угла, проведённая в треугольнике, делит противолежащую сторону на два отрезка, которые пропорциональны прилежащим к углу сторонам * * * .

a =3k ; b =4k  ⇒ с =5k     * * *   c =√( (3k)²+(4k)² ) =5k  * * *

r =(3k+4K -5k)/2 = k , но  c =3 см+4 см =7 см  ;  5k =7 см⇒ k =1,4 см.

ответ : 1,4 см .