Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон нужно подробное доказательство.

Решение....................

АД=2ВС, S(АВСД)=90, ЕК - высота, ЕК=Н.
S(ОМРN)=?

В трапеции треугольники АОД и ВОС подобны (свойство трапеции), значит ЕО:ОК=ВС:АД=1:2 ⇒ ОК:ЕК=2:3. ОК=2Н/3.

Пусть ВС=х, тогда АД=2х.
Площадь трапеции АВСД: S(АВСД)=Н(х+2х)/2=3Нх/2.
S(АОД)=АД·ОК/2=2х·2Н/6=2Нх/3.

АВСР и РВСД - параллелограммы так как ВС=АР=РД и ВС║АД. 
Диагонали параллелограммов пересекаются в точках М и N, которые находятся в центрах параллелограммов, значит точки М и N лежат на средней линии трапеции, следовательно высоты треугольников АМР и PND, опущенные на прямую АД, равны Н/2.
Площади треугольников АМР и PND равны т.к. их основания и высоты равны.
S(АМР)=х·Н/4.

Теперь, S(OMPN)=S(AOД)-2S(АМР)=2Нх/3-Нх/2=(4Нх-3Нх)/6=Нх/6.

Найдём отношение известных площадей:
S(АВСД):S(ОМРN)=(3Нх/2):(Нх/6)=9:1

Итак, S(ОМРN)=S(АВСД)/9=90/9=10 - это ответ.

Пусть сторона , тогда , так как она в 2 раза больше стороны BC по условию задачи. Теперь рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть  и . Предположим, что угол , тогда угол , теперь, учитывая, что углы  и  смежные, то угол 

LАКР=180 град.-LРКВ

LАКР=180 град.-180 град.+а=а

то есть он равен углу . Аналогично и для угла . Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

АС         СВ

---    =    

АК          КР

Откуда:

КР=АК*СВ

       

       АС

и подставляя числовые значения, имеем:

КР=14*х=14=7

           

         2х     2

ответ:7