Найдите высоты равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 17 см, а основание 30 см

   Назовём данный треугольник АВС.

ВВ1- высота к АС.

АА1=СС1 - высоты к равным боковым сторонам.

   Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и медианой. ⇒

АВ1=СВ1=30:2=15 см

∆ АВВ1=∆ СВВ1 ( по трем сторонам).

Из ∆ АВВ1 по т.Пифагора

   ВВ1=√(AB²-AB1²)=√(17²-15²)=8 см

Высоты к боковым сторонам найдем из площади ∆ АВС

   Заметим, что ∆ АВС - тупоугольный ( АС² > АВ²+ВС²), поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам тупоугольного треугольника, лежат вне его. 

S(ABC)=BB1•AC:2=8•15=120 см²

AA1=2S(ABC):BC

   AA1=CC1= см

Доказательство:  Назовем пирамиду МАВСD. МА=МВ=МС=МD=13, высота МО=12 и перпендикулярна основанию. Отрезки ОА=ОВ=ОС-ОD=5 ( отношения сторон из Пифагоровых троек). Треугольники МОА=МОВ=МОС=МОD по гипотенузе - (боковому ребру) и катету - высоте МО пирамиды.  Поэтому равные диагонали основания - прямоугольника- являются диаметрами описанной около него окружности, а высота проецируется в центр прямоугольника, т.е в точку пересечения его диагоналей.  Сторона прямоугольника 8 см оказалась для решения лишней.

SH = a/(2Cosβ).

Объяснение:

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).

Проведем отрезок SH перпендикулярно АВ (это апофема - высота боковой грани правильной пирамиды). АН=НВ, так как боковая грань - равнобедренный треугольник. Опустим высоту SO - в правильной пирамиде основание высоты - точка пересечения диагоналей квадрата. Соединим точку О с точкой Н. Отрезок ОН перпендикулярен прямой АВ по теореме о трех перпендикулярах.

Следовательно, угол наклона грани (эти углы у всех граней правильной пирамиды одинаковы) к плоскости основания, это угол SHO в прямоугольном треугольнике SOH.

Косинус этого угла - отношение прилежащего катета ОН к гипотенузе SH или Cosα = OH/SH. OH = a/2 (расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до стороны квадрата). Тогда апофема (SH) равна:

SH = a/(2Cosβ).