Найдите множество середин хорд данной окружности, проходящих через точку

1 случай. Точка A лежит внутри окружности с центром в точке O или на окружности. Докажем, что середины хорд, проходящих через A, образуют окружность с диаметром AO. Если точка M лежит на этой окружности, то угол OMA прямой как вписанный и опирающийся на диаметр, а тогда M - середина хорды, проходящей через A и M. В обратную сторону так же просто. 

2 случай. Точка A лежит вне окружности. Тогда середины хорд, проходящих через A, образуют часть окружности с диаметром AO, лежащей внутри нашей. Доказательство аналогично. 

Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠А=90°, АС=30 см, ВС=34 см;  МК⊥ВС, ВМ=МС.  Знайти МК.

Знайдемо АВ за теоремою Піфагора:

АВ=√(ВС²-АС²)=√(1156-900)=√256=16 см.

Проведемо ВК і розглянемо ΔВКС - рівнобедрений, тому що ВМ=СМ і МК⊥ВС, отже ВК=КС.

Нехай АК=х см, тоді КС=ВК=30-х см.

Знайдемо АК з ΔАВК - прямокутного:

АВ²=ВК²-АК²;  16² = (30-х)² - х²;  256=900-60х+х²-х²;  

60х=900-256=644;  х=10 11/15 см.  АК=10 11/15 см, тоді

ВК = 30 - 10 11/15 = 19 4/15 = 289/15 см.

Знайдемо МК за теоремою Піфагора з ΔВМК, де ВМ=34:2=17 см.

МК²=ВК²-ВМ²=(289/15)² - 17² = (83521/225) - 289 = 18496/225.

МК=√(18496/225)=136/15=9 1\15 см.

Відповідь: 9 1/15 см.

Дано:

конус

S осн = 16п см²

S осев сеч = 12 см²

Найти:

S бок поверхности - ?

Решение:

S осн = пR² = 16п см²

R = √16 = 4 см

Осевое сечение данного конуса (если секущая плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник.

Так как △ВРА - равнобедренный => Н (или РО) - высота, медиана, биссектриса.

=> BO = OA = 4 см,(они и есть R) так как РО - медиана.

=> BA = 4 * 2 = 8 см (это и диаметр D)

S треугольника = (1/2ВА) * Н (или РО) = 12 см²

=> Н (или РО) = S треугольника/(ВА * 1/2)

Н (или РО) = 12/(8 * 1/2) = 3 см

△ВРО и △АРО - прямоугольные, так как РО - высота.

По теореме Пифагора найдём образующую l (или BP, PA):

с² = а² + b²

c = √a² + b²

c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

S бок поверхности = пRl

S бок поверхности = п * 4 * 5 = 20п см²

ответ: 20п см²