1) прямоугольная трапеция с большим основанием 8 см и боковыми сторонами 3 см и 5 см вращается вокруг большего основания. найдите объем тела вращения. 2) прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим острым углом альфа вращается вокруг гипотенузы. найдите объем тела вращения.

1.Объём получившегося тела вращения -  сумма объёмов цилиндра с  и конуса с общим основанием с радиусом, равны высоте трапеции. 

Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне. 

ВН=3 ⇒ r=3

По т. Пифагора высота конуса АН= √(BA²-BH²)=4

Высота цилиндра DH =8-4=4

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту 

Vц=π3²•4=36π см³

Объём конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту. 

Vk=π3²•4/3=12π см³

V=36π+12π=48π см³ (см. приложение)

------------------

2. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90°, угол САВ=α, катет АС=а. 

Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα 

Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу. 

Высота h2 меньшего конуса  - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу. 

Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов. 

V=V1+V2

r= a•sin α

V1=π•r²AH/3

V2= π•r²•BH/3

V=π•r²AH/3+ π•r²•BH/3

V=π•r²(AH+BH)/3; 

    AH+BH=AB

V=π•r²•AB/3 

AB=AC/cosα=a/cosα 

V=π•(a•sin α)²•(a/cosα):3=a³•sin²α/3cosα

Чтобы решить данную задачу - определяем центр окружности:

 

уравнение окружности начинающейся в центре координат: x^2+y^2=R^2

 

определяем серединную точку окружности:

если y=0, то x^2=16 x=3 и x=-5 -> абсцисса центра окружности =-1 (т.е. смещена), тк R=4 

Аналогично находим ординату точки центра y0=+2 (рассчеты проводим аналогчино предыдщему пункту)

 

Центр окружности имеет координаты: (-1;2)

Прямая параллельная оси абсцисс не меняется по оси на всей свой длине -> y=c  . определяем с, исходя из условия прохождения прямой через центр окружности -> с=2 -> уравнение прямой y=2

сделаем построение по условию

дополнительно

параллельный перенос  прямой (BD) в прямую (B1D1)

искомый угол <AB1D1 в треугольнике ∆AB1D1

 

по теореме Пифагора

 

AB1=√(a^2+(3a)^2) =a√(1+9)= a√10

 

B1D1=√(a^2+(2a)^2) =a√(1+4)= a√5

 

AD1=√((2a)^2+(3a)^2) =a√(4+9)= a√13

 

по теореме косинусов

 

AD1^2 = AB1^2+B1D1^2 - 2*AB1*B1D1 * cos<AB1D1

 

(a√13)^2=(a√10)^2 + (a√5)^2 - 2* a√10* a√5 * cos<AB1D1

 

13a^2=10a^2 + 5a^2 -10√2a^2 * cos<AB1D1

 

cos<AB1D1 = 13a^2-(10a^2 + 5a^2) / -10√2a^2 = -2a^2 / -10√2a^2 = √2/10

 

<AB1D1  = arccos (√2/10)

 

ответ  угол между прямыми BD AB1  arccos (√2/10)