Точка s равноудалена от сторон квадрата abcd и находиться на расстоянии 4 см от плоскости квадрата. найдите расстояние от точки s до стороны квадрата, если сторона квадрата равна 6 см.

Расстоянием от точки S до сторон квадрата является отрезок L.
L - это гипотенуза в треугольнике, где катеты: расстояние от точки S до плоскости АВСД и половина стороны квадрата.
L = √(4²+(6/2)²) = √(16+9) = √25 = 5 см.

Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, и - точно так - же точку касания с KL обозначим N. 

Из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник, угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. 

Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

x + y = 7;

y + z = 8;

x + z = 10;

x - y = 2; 2*x = 9; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 9; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x

Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/8; BK = KL*10/8, периметр равен KL*25/8; Поэтому 

KL*25/8 = 9; KL = 72/25; 

Боковая поверхность пирамиды состоит из 4-х одинаковых треугольника с основанием а и высотой в  виде апофемы А.

Найдём сторону а основания.

Треугольник, состоящий из высоты Н = 16, бокового ребра L = 20см и половинки диагонали основания 0,5d является прямоугольным с гипотенузой А. По теореме Пифагора: L² = (0,5d)² + Н²

20² = (0,5d)² + 16²

(0,5d)² = 400 - 256 = 144

0,5d = 12

d = 24(cм)

Диагональ d и сторона а квадрата связаны соотношением

d² = 2а², откуда

а = d/√2 = 24/√2(cм)

Апофема А, высота Н и половинка стороны основания 0,5а составляют прямоугольный тр-к с гипотенузой, равной апофеме. По теореме Пифагора:

А² = (0,5а)² + Н² = (12/√2)² + 16² = 72 + 256 = 328

А = √328(см)

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Sбок = 4·0,5·А·а = 2·√328·24/√2 = 48·4√41 = 192√41 (см²)