Перпеедикуляр, опущений з точки перетину діагоналей ромба ділить його сторону на відрізки 4 і 16 см. знайти діагоналі ромба

HD = 16 см и CH = 4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник COD. Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

см

Из прямоугольного треугольника DOH по т. Пифагора:

см

Из прямоугольного треугольника COH по т. Пифагора

см

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит

BD = 2 * OD = 2 * 8√5 = 16√5 см

AC = 2 * OC = 2 * 4√5 = 8√5 см

1) Основание остроугольного равнобедренного треугольника равна 30 см, а высота, опущенная на боковую сторону, = 24см.
Найти периметр треугольника.
2) Сторона ромба равна 25 см, а его высота- 24 см.
Найти диагонали ромба.

1). НС=√(30²-24²)=18см. (по Пифагору).
АВ²-ВН²=АН²  (по Пифагору).  Или
24²=(18+х)²-х². =>  х=7см.
АВ=ВС=18+7=25см.
Периметр равен 25+25+30=80см.

2).  Площадь ромба равна Sabcd= ВН*AD = 24*25=600см².
АН=√(25²-24²)=7см. (по Пифагору).
НD=25-7=18см.
BD= √(24²+18²)=30см. (по Пифагору).
Sabcd=(1/2)*D*d=600см² (найдена ранее)  =>
AC=1200/30=40см.
ответ: диагонали ромба равны 40см и 30см.

1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания).
Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО.
Доказательство:
Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной).
∠САО = ∠СВО = 90°,
ОА = ОВ как радиусы,
ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒
ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе.
Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО.
Доказано.

2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.

Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.

3.  Соединяем данную точку А с центром окружности.
Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА.
Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В.
Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА.
Прямая а  - касательная к окружности.