Катеты прямоугольного треугольника относятся как m: n. как относятся проекции катетов на гипотенузу?

Катеты: m*x и n*x
их проекции в сумме равны длине гипотенузы))
известно: (катет является средним геометрическим для гипотенузы и своей проекции на гипотенузу)
(mx)² = c*(проекцию_mx) ---> проекция_mx = m²x² / с 
аналогично, проекция_nx = n²x² / с
их отношение: (m²x² / с) : (n²x² / с) = (m²x² / с) * ( с / (n²x²)) = m² / n²

Во первых, уточним, что прямая р лежит в ОДНОЙ плоскости  с треугольником АВС.
Во вторых,существует аксиома: "В одной плоскости через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну".
Следствие из этой аксиомы:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую. Это следствие доказывается методом от противного.
Предполагается, что прямая (АС или ВС), пересекающая одну из параллельных прямых (АВ) в точке (А или В), НЕ пересекает вторую. Тогда имеем еще одну прямую k, параллельную  второй прямой р, проходящую через точку пересечения (А или В), что противоречит аксиоме о параллельных прямых.
Итак, если p параллельна AB, а BC и АС пересекают AB, значит прямые BC и АС (или их продолжения) пересекают и прямую p, т.к. p || AB.
Что и требовалось доказать.

Во первых, уточним, что прямая р лежит в ОДНОЙ плоскости  с треугольником АВС.
Во вторых,существует аксиома: "В одной плоскости через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну".
Следствие из этой аксиомы:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую. Это следствие доказывается методом от противного.
Предполагается, что прямая (АС или ВС), пересекающая одну из параллельных прямых (АВ) в точке (А или В), НЕ пересекает вторую. Тогда имеем еще одну прямую k, параллельную  второй прямой р, проходящую через точку пересечения (А или В), что противоречит аксиоме о параллельных прямых.
Итак, если p параллельна AB, а BC и АС пересекают AB, значит прямые BC и АС (или их продолжения) пересекают и прямую p, т.к. p || AB.