Центр окружности, описанной около треугольника abc, лежит на стороне ab. найдите угол abc, если угол bac равен 30°. ответ дайте в градусах.

Т.к. центр расположен на стороне треугольника, значит треугольник прямой и АВ является гипотенузой. значит угол С прямой. 90-30=60°

     В                             C             M

                                             O

 

 

A                                H       P                     D

 

треугольник AOD подрбен треугольнику   COM  (по трем углам: СОМ=АОD -вертикальные, МСО=ОDА и СМО=АОD - внутренние накрест лежащие). Отсюда   CM/AD=CO/OD=2,4/12=1/5

Т.е.  СО 1 часть. ОD - 5частей, а СD=6частей.

далее проведом перпендикуляры СН и ОР. Прямоугольные треугольники СНD ОРD подобны (по трем углам). ОР/СН=ОD/СD=5/6   ОР=5/6СН 

Sabcd= (8+12):2 *СН=10СН    Saod=1/2*12* 5/6СН=5СН    

Площадь треугольника равна половине площади трапеции, значит Sabco/Saod=1

              

Sin A = √5/3; cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - 5/9 = 4/9; cos A = √(4/9) = 2/3
A = arccos(2/3) ~ 48 градусов, это острый угол.
cos B = cos(180 - A) = -cos A = -2/3
По теореме косинусов в треугольнике АВС в основании
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos B
Здесь d - это диагональ основания, a и b - стороны основания.
d^2 = 1^2 + 3^2 - 2*1*3*(-2/3) = 1 + 9 + 4 = 14
d = √14 - это длина диагонали основания. h = √14 - боковое ребро.
Все это нарисовано на левом рисунке.
Диагональ основания, боковое ребро и большая диагональ пар-педа образуют прямоугольный треугольник. 
Так как d = h, то этот прямоугольный треугольник к тому же равнобедренный.
Угол между большой диагональю AC' и диагональю основания АС = 45 гр.
Это нарисовано на правом рисунке.