Найдите высоту прямоугольного треугольника , проведенную к его гипотенузе, если катеты равны 12 см и 16 см.

Пусть гипотенуза равна х см, а высота - h см.

По теореме  Пифагора: см

Площадь прямоугольного треугольника равна см². С другой стороны площадь равна см²

Приравнивая площади, получим уравнение:

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, пускай меньший катет равен 3х, а больший - 4х. Найдем гипотенузу y:


В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен 2,5х. Медиана, проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам, т.е. попадает в центр описанной окружности. Зная, что ее длина равна 6, можем найти х:


Периметр треугольника равен 3х+4х+5х=12х, т.е. 12*2,4=28,8

В основании АВС проведём высоту АК. АК=а√3/2=ВС√3/2=4√3.
МЕ - перпендикуляр к ВС. МЕ - средняя линия тр-ка АСК, значит МЕ=АК/2=2√3.
РЕ - перпендикуляр к ВС. РЕ - средняя линия тр-ка SКС. SP=CP ⇒ РМ - средняя линия тр-ка SAC, значит треугольники SAK и РМЕ подобны с коэффициентом подобия k=АК/МЕ=2
SK=√(SB²-СK²)=√(15²-4²)=√209.
SO - высота пирамиды. Точка О - центр описанной окружности около правильного тр-ка АВС, значит R=АО=АК·2/3=8√3/3.
В тр-ке SAO SO=√(SA²-AO²)=√(15²-(8√3/3)²)=√(611/3).
Площадь тр-ка SAK: S=AK·SO/2=4√3·√611/(2√3)=2√611.
АД⊥SK.
Площадь того же тр-ка: S=АД·SK/2 ⇒ АД=2S/SK=4√(611/209).
В тр-ке МРЕ МТ⊥РЕ.
АК║МЕ, SA║MP, SK║PE, значит плоскости тр-ков SAE и МРЕ параллельны. АД⊥SBC ⇒ МT⊥SBC. 
Из подобия треугольников SAK и МРЕ МТ=АД/k=2√(611/209) - это ответ.