На сторонах угла а равного 129° отмечены точки в и с, а внутри угла точки д так, что угол авд равен 31° и угол асд равен 24°. найти угол вдс.

Сумма углов выпуклого четырехугольника 360°.

Угол ВDC=360°-∠BAC-∠ABD-∠ACD=360°-129°-(31°+24°)=176°

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Длины векторов не влияют на знак, так как длина ненулевого вектора всегда положительна. Следовательно, знак скалярного произведения зависит только от знака косинуса угла между векторами. Если косинус положителен, то и скалярное произведение положительно, если косинус отрицателен, то и скалярное произведение отрицательно.

Косинус острого угла положительное число, а косинус тупого угла  -  отрицательное число. Значит, если скалярное произведение положительно, то векторы образуют острый угол.

Вывод: чтобы скалярное произведение было положительно, угол между векторами с и  d должен быть острым.

У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.