На стороне cd квадрата abcd отметили точку k так, что угол abk=60 градусов. найти ak, если bc= корень 6 см.

Углы квадрата равны 90°. 

∠СВК=90°-60°=30°

СК=ВС• tg 30°=√6:√3=√2 

Катет СК противолежит углу 30°, ⇒

гипотенуза ∆ СВК сторона ВК=2 СК=2 √2

Стороны квадрата равны. 

По т.косинусов 

АК²=АВ²+ВК²-2 АВ•ВК• cos60°

АК²=6+8 - 2 √6•2√2:2

AK²=14 - 2√12=14-4√3

AK=√(14-4√3) ≈7,07

Не любая
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
 Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.

Пирамида имеет в основании квадрат или правильный треугольник?

1. поверхность грани 96/4=24  длина стороны основания 24/4=6
апофема равна высоте к стороне основания, апофему обозначим а

0,5*6*а=24    а=24/3=8

2. поверхность 96/3=32   сторона основания 24/3=8
0,5*8*а=32   а=32/4=8

видим равенство апофем, более детально -
пусть n боковых граней, s = 96/n   сторона основания 24/n
0.5*24/n*a=96/n    12a=96   a=8

видим, что можно дать другие числа, а не 96 и 24 и  посчитать апофему, она не будет зависеть от числа сторон правильной пирамиды, а только от конкретных значений площади боковых граней и периметра основания.