Вправильном треугольнике призме авса1в1с1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ав и а1с

поскольку а1в1 ii ав, то ищем угол между а1с и а1в1. соединим в1 и с. получился треугольник са1в1, в котором са1 = св1 =  √2, а а1в1 = 1. в этом равнобедренном треугольнике надо найти косинус угла при основании (обозначим его ф).

конечно, cos(ф) = (a1b1/2)/a1c = 1/(2*√2) =  √2/4;

Так как трапеция авсд равнобедренная, то и диагонали у неё равны. обозначим стороны её a, b c, d. у трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. если диагональ вд передвинуть в точку с, то получим равнобедренный треугольник со сторонами 7, 7 и (2*5 = 10) м. высота этого треугольника равна высоте трапеции и равна двум радиусам вписанной окружности. отсюда r = (1/2)√(7² - (10/2)²) = (1/2)√(49 - 25) = (1/2)√24. теперь рассмотрим треугольник аво. по свойству  трапеции, в которую вписана окружность, угол о - прямой.радиус, проведенный в точку касания окружности боковой стороны, - это перпендикуляр к этой стороне, то есть высота треугольника из точки о. точка касания делит боковую сторону на 2 отрезка, равные  b / 2 и  d / 2 на основании свойства высоты прямоугольного треугольника: r² = (b / 2)*(d / 2) = bd / 4 или bd = 4r² = 4*( (1/2)√24) = 24. теперь решим систему уравнений: bd =   24b +  d = 10. используем способ подстановки:   b = 24 /  d . тогда (24 /  d) +  d = 10.,приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение: d²-10d+24=0.заменим обозначенме стороны d на х для решения этого уравнения: квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант: d=(-10)^2-4*1*24=100-4*24=100-96=4; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√))/(2*1)=())/2=(2+10)/2=12/2=6; x_2=(-√ ))/(2*1)=(-))/2=(-2+10)/2=8/2=4.это и есть ответ:   больший корень - это основание d = 6 см, а меньшее - 4 см.

  чтобы найти периметр многоугольника, нужно знать длины всех его сторон. 

опустим высоты dh и ck. 

прямоугольные треугольники dhа и скв равны по гипотенузе и острому углу. 

dhkс прямоугольник, его противоположные стороны равны.

нк=dc=8 ⇒

ан=кв=(ав-сd): 2=(14-8): 2=3 

углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.

в ∆ скв ∠ксв=∠dcb-∠dck=120°-90°=30°

ан и кв противолежат углу 30° и равны половине гипотенузы⇒ ad=cb=2•3=6 

p=ad+dc+cb+ba=6+8+6+14=34 (ед. длины)