Дан треугольник авс с площадью 30 см^2. на стороне вс взята точка е, на стороне ас взята точка р так, что be : ес = 2 : 3, ар : pc = 1 : 2. найдите площадь четырехугольника авер.

task/24843601
---. ---. ---.---. ---
S(ABEP) = S(ABE) + S(APE) 
S(ABE)/S(ABC) = BE / BC =2/5⇒ S(ABE)=(2/5)*S(ABC) =(2/5)*30 =12 (см²) .
S(AEC) / S(ABC)=CE/BC= 3/5 ⇒ S(AEC) =(3/5)*S(ABC) .
* * * или   S(AEC) = S(ABC) - S(ABE) = 30 -12 =18  (см²) * * *
S(APE)/S(AEC) = AP/ AC =1/3 ⇒S(APE) =(1/3)*S(AEC) =
(1/3)*(3/5)*S(ABC)= (1/5)*S(ABC) =(1/5)*30 = 6 (см²) .
Следовательно 
S(ADEP) = S(ABE) +S(APE)  =12 см² +6 см² =18 см² .

ответ : 18 см².
рисунок см приложения 

Рассмотри два случая: угол C - прямой и непрямой (острый или тупой).
I. ∠С - прямой
  
II. ∠C - острый или тупой

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки( следствие из теоремы Фалеса), то есть

Тогда


ответ: 18 см²

Проведем высоту ЕН в равнобедренном треугольнике EFM. Эта высота является и медианой, то есть МН=НF=10√6.   В прямоугольном треугольнике ЕРН <EPH=60° (так как это угол между ЕР и плоскостью МРF), значит <PHE=30°. Тогда РН=2*РЕ=20 (РЕ - против угла 30°). РН - апофема (высота) грани МРЕ. Площадь этой грани равна Smpe=0,5*MF*PH=0,5*20√6*20 = 200√6.
Из треугольника ЕРН по Пифагору ЕН=√(PH²-PE²)=10√3.
Из треугольника ЕНМ по Пифагору ЕМ=√(ЕH²+НМ²)=√(300+600)=30.
Площадь грани ЕРМ=0,5*ЕМ*РЕ=0,5*30*10=150.
Площадь боковой поверхности пирамиды Sб=2*150+200√6 =300+200√6=100(3+2√6).

Угол ВСЕ равен 180 град. - 62 град. = 118 град. , т.к. угол АСВ = 180 - 30 -  88 = 62 (град.)
Угол ВСД = 118 : 2 = 58 (град.), т.к. СД - биссектриса.
Угол СВД = 180 - 88 = 92 (град.), т.к. это внешний угол
Угол ВДС = 180 - 59 - 92 = 29 (град.), т.к. сумма углов в треугольнике  = 180 град.
 Углы  ВДС и СДЕ  равны, т.к. треугольники  СВД и СДЕ равны, по признаку равенства треугольников (одна сторона общая , стороны ВС и СЕ  равны по условию, углы ВСД и  ДСЕ равны, т.к. разделены бисектриссой.)

Значит  Угол ВДЕ равен  угол BDC,  умноженный на два, т.е.29 х 2 = 58 (град.)