Доказать что треугольник равнобедренный если его медианы равны

Пусть АВС - треугольник, АД - медиана, проведенная из вершины А на сторону ВС, СЕ - медиана, проведенная из вершины С на сторону АВ. Медианы АД и СЕ пересекаются в точке М.
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Так как медианы равны, то равны и части медиан АМ=СМ и ЕМ=ДМ.
Следовательно треугольники АЕМ и ДМС равны по двум сторонам и углу между ними (угол ЕМД=угол ДМС, как вертикальные углы)
Значит стороны, лежащие против равных углов равны, то есть АЕ=ДС.
Но АЕ - это половина стороны АВ, ДС - это половина стороны ВС,
Значит АВ=ВС, треугольник АВС - равнобедренный.

Пусть данный прямоугольный треугольник - АВС,
 угол С=90°,
 СН - высота.
 АН - проекция катета АС,
х- проекция катета ВС на гипотенузу АВ. 
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 
ВС²=АВ*ВН 
Пусть ВН=х. Тогда АВ=9+х 
36=х(9+х) ⇒
х² +9х-36=0 
Решив квадратное уравнение, получим его корни.
 х₁=3 
х₂=-12 ( не подходит).
 ВН=3 
АС² =АВ*АН 
АС² =12*9=108 
АС=√108=6√3 
S=AC*CB:2=18√3
--------
Из отношения СВ :АВ=1/2  ясно, что угол А=30°, угол В=60°, и тогда площадь можно не находить длину ворого катета, а найти по формуле: 
S=(a*b*sin α):2 , где a и b стороны треугольника, α - угол между ними. 
S=AB*BC*√3)*0,5:2
Результат вычисления будет тем же -  S=18√3

из подобия треугольников (получается три и все подобны). Проекция вершины при угле 90 градусов даст перпендикуляр к гипотенузе. Этот перпендикуляр разделит исходны треугольник на 2 прямоугольных. Вот эти три подобны (у них углы одинаковые). 

Если два треугольника подобны, то стороны одного из них получаются из сторон другого умножением на некоторое положительное число (а, допустим). Тогда стороны первого из сторон второго получаются умножением на (1/а). 

Можно нарисовать картинку и получить пару уравнений относительно длины отрезка гипотенузы, на который не попала проекция катета (пусть это х). И коэффициента подобия (пусть к) при переходе от исходного к тому внутреннему, у которого сторона (один из катетов) равна пяти. 

6^2 = (6к)^2 + х^2 
5^2 + (6к)^2 = (5 / к)^2 (оно биквадратное). 

Их второго к = sqrt(5) / 2 или sqrt(5) /3 

Первый из них не подходит для первого из уравнений выразите х^2 и увидите при подстановке,что квадрат х отрицателен будет; или сразу заметьте, что при к = sqrt(5) / 2 > 1 будет 6 меньше чем 6к). 

Из первого можно х найти. x = 4 

Гипотенуза исходного = 5 + 4 = 9. 

Второй катет ---5 / к = 3*sqrt(5).