Вравнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие-на катетах. найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 12см.

У равнобедренного прямоугольного треугольника острые углы по 45°.
Пусть имеем треугольник АВС с прямым углом С, сторона ДЕ квадрата равна х. 
Тогда ДВ = (12-х)/2. Но ДВ = ДЕ,
Отсюда х = (12-х)/2.
2х = 12 - х.
3х = 12,
х = 12/3 = 4 см.
Периметр квадрата Р = 4*4 = 16 см.

Две прямые, заданные уравнениями и , будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда . Коэффициенты и называются угловыми коэффициентами.
Мы имеем диагональ , которая лежит на прямой . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид:
.
Здесь угловой коэффициент равен . 
Пусть диагональ лежит на прямой .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, , откуда . Т.е диагональ лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Исходя из этого составим уравнение: , откуда . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ - это прямая или, что то же самое, .

Теперь к уравнениям сторон.

Две прямые, заданные уравнениями и , пересекаются под углом , тангенс которого равен . Причём при они перпендикулярны.
Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен . Пусть сторона лежит на прямой . Получается, нам нужно, чтобы прямая при пересечении с прямой образовывала угол в . (А сторона лежит на прямой .)
Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:

Мы получили, что сторона лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Получаем, что , откуда . Значит, сторона лежит на прямой .

Найдём координаты вершины  - это точка пересечения диагонали  и стороны  :

Получили координаты вершины 

Пусть прямая, на которой лежит сторона , имеет вид . Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона  :

Получили, что сторона  лежит на прямой .

параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона  : 

Получили уравнение :  .

Найдём координаты точки  :


параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD:

Получили, что сторона лежит на прямой

Расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной равно 2√3 м.

Объяснение:

Дано: плоскости α║β, АВ ⊥ α, АВ ⊥ β, АВ = 3м, СD = 5м.

АС = 4м, BD = 4м. AF=EB, CF=FD.

Найти EF.

Проведем перпендикуляры СС1 и FF1 к плоскости β.

Четырехугольники АСС1В и EFF1B - прямоугольники и

C1B = FC = 4м, EF = BF1 (противоположные стороны прямоугольников.

Треугольник С1BD - равнобедренный с основанием С1D.

С1F1 = F1D, так как FF1 - средняя линия треугольника СС1D.

BF1 - медиана и высота этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике CC1D по Пифагору:

C1D = √(CD²-CC1²) = √(5²-3²) = 4м.  F1D = 2м.

В треугольнике С1BD по Пифагору

BF1 = √(BD²-F1D²) = √(4²-2²) = 2√3м.

EF = BF1 = 2√3 м.