Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 дм. угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусов. вычислить объем пирамиды

v=sосн*h

sосн=3*a^2*sqrt(3)/2   где a-сторона шестиугольника 

sосн=3*16*sqrt(3)/2=24*sqrt(3)

h=a*tg30=4/sqrt(3)

v=24*sqrt(3)*4/sqrt(3)=96

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются сама вершина пирамиды, ее проекция на основание и одна из вершин в основании. треугольник прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой 20. катеты равны 20/√2=10√2 то есть отрезок ao, где a-вершина в основании o-центр основания равен 10√2 в искомом треугольнике проведем медиану,высоту,биссектрису из вершины o, где угол o равен 90гр медиана делит гипотенузу на два равных отрезка, которые равны самой медиане. так как это равнобедренный треугольник, медиана является и высотой, значит это расстояние от центра основания до бокового ребра 20/2=10

около трапеции описана окружность, следовательно трапеция равнобедренная (т.к. сумма противолежащих углов равна 180). биссектрисы углов при основании образуют равнобедренный треугольник (половины равных углов равны). радиус вписанной окружности делит основание пополам (т.к. является высотой и медианой). отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. таким образом, искомый пятиугольник разделен на четыре равных (по двум катетам) прямоугольных треугольника.

s= 4*(a/2)r/2 =ar

биссектрисы углов при боковой стороне перпендикулярны (т.к. сумма односторонних углов при параллельных равна 180). радиус к боковой стороне является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов.

r= √(a/2*b/2) =√(ab)/2

s= a√(ab)/2 =3√15/2