Площіна перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих. Як розміщена друга з цих прямих відносно даної площини?

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник АВС.

АВ=ВС – образующие.

BD– высота конуса, а также высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.

О–центр вписанной в треугольник АВС окружности и центр вписанного в конус шара.

ОD=r .

AD=R .

Из прямоугольного треугольника

tg∠OAD = tg(α/2) = r/R . Отсюда r = Rtg(α/2).

ОА– биссектриса угла ВAD, так как центр вписанной в треугольник окружности– точка пересечения биссектрис.

Высота конуса H = R/tg(α/2).

V(шара) = (4/3)πr³ = (4/3)πR³tg³(α/2).

V(конуса)=(1/3)S(осн)·H=(1/3)·πR²·R/tg(α/2) = (1/3)·πR³/tg(α/2).

Разделим V(конуса) на V(шара).

V(конуса) / V(шара) = ( (1/3)·πR³/tg(α/2)) / ((4/3)πR³tg³(α/2)) = 4tg³(α/2)tgα.

ответ: V(конуса) = V(шара) / (4tg³(α/2)tgα).

Гульсарочка как то вокруг решения ходит :) Диагонали у параллелограмма не равны, только у прямоугольника. 

Вот как можно поступить. Берется прямоугольный треугольник со стронами 5,12,13. На катете 12 от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный малому катету, то есть 5, и соединяется с противоположной вершиной треугольника. Получился треугольник со сторонами 12 - 5 = 7, 13 и 5*корень(2). 

Вот на такие два треугольника и делит заданный параллелограмм диагональ длинны 13. Можно легко достроить его, проведя 2 линии, параллельные сторонам этого треугольника, через противоположные вершины.

Площадь такого параллелограмма равна 5*7 = 35.

 

Вот какая штука. В моем решении (и - между прочим, в решении Гульсарочки!) вторая сторона параллелограмма получается 5*корень(2), что больше 7 (совсем немного, но - больше). Поэтому вторая высота (проведенная к этой стороне) - меньше 5 (произведение высоты на сторону равно площади). Поэтому мое решение не соответствует условию, в котором сказано, что 13 - наибольшая из диагоналей, а 5 - наименьшая из высот. 

В решении же Гульсарочки, которое получается, если от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный 5, вдоль продолжения катета 12, то есть длина стороны параллелограмма равна 12 + 5 =17. Это решение ничем не хуже и не лучше моего, поскольку тоже не удовлетворяет всему условию :) - в этом случае диагональ 13 не наибольшая.