Найдите площадь кругового кольца, содержащегося между описанной и вписанной окружностями правильного треугольника со стороной 4.

S кругового кольца=S большего круга-S меньшего круга.
Чтобы найти S круга, надо найти R описанной и r  вписанной в треугольник окружности.
R =а/√3, где а-сторона треугольника,  
r =а/2√3
S круга большого=πR²   
S круга маленького=πr²
S кругового кольца=Sбольш круга-Sмал круга
S=πR²-πr²
S=π(R²-r²)=π((а/√3)²-(а/2√3)²)=π(а²/3-а²/4*3)=πа²/4=π*16/4=4π
ответ: S кругового кольца=4π

Острый угол 60°, => меньшая диагональ ромба =36.
из тупого угла в 120° опущена высота на сторону ромба. рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю ромба 36 -гипотенуза, высотой к стороне -катет и отрезком стороны - катет против угла 30°, он равен 36:2=18. следовательно другой отрезок так же равен 18 см

или другое рассуждение: меньшая диагональ разделила ромб на на 2 равных равносторонних треугольника. высота опущенная из тупого угла -это высота правильного треугольника, которая является биссектрисов и медианой, => 36:2=18
ответ: отрезки по 18

46.5. Искомая площадь вычисляется:

S=S₁-S₂-S₃,

S₁=π(AB)²/8; S₂=π(AD)²/8; S₃=π(DB)²/8.

S=π/8(AB²-AD²-DB²).

Подставим AB=AD+DB, CD²=AD*DB.

S=π/8(AD²+DB²+2AD*DB-AD²-DB²)=π*AD*DB/4 = π*CD²/4.

46.4. Рассмотрим четверть квадрата (Рис. ниже) со стороной a. Найдем S₁.

S₁=Sсек -Sтреуг, где  Sсек - площадь сектора круга, ограниченного радиусами AB и AC, Sтреуг - площадь треугольника ABC.

Sсек = Sкр/4 = πa²/16.

Sтреуг = a²/8.

S₁ = a²/8*(π/2-1).

Искомая площадь: S=8*S₁ = a²*(π/2-1). По условию a=4 см.

S = 16(π/2-1) см.

46.6. Площадь (из задачи 46.5) вычисляется:

S=π*CD²/4 = π*AD*DB/4 = π*6*4/4 = 6π см².

Длина дуги окружности диаметра AB: L₁=πAB/2=5π см.

Длина дуги окружности диаметра AD: L₂=πAD/2=3π см.

Длина дуги окружности диаметра DB: L=πDB/2=2π см.

Периметр: L=L₁+L₂+L₃ = 5π+3π+2π = 10π см.