Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна 9см.​

По свойствам прямоугольного треугольника нам известно, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Значит, один из катетов равен половине гипотенузы, то есть 9:2=4,5

Найдем другой катет по теореме Пифагора

Пусть неизвестный катет это х

х²=9²-4,5²

х²=81-20,25

х²=60,75

х=√60,75

Вспомним, что четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны между собой. 
Значит, сумма боковых сторон равна 4+9=13
Пусть дана трапеция АВСД,
ВС||АД, углы А и В - прямые. 
Опустим из С высоту СН на основание АД. 
Тогда АВСН - прямоугольник, АН=ВС=3, АВ=СН=х, СД=13-х. По т.Пифагора найдем х:
(13-х)²=х²+5²
 169-26х=х²=х²+25  
 26х=144 
 х=144/26 Площадь трапеции равна половине произведения высоты на полусумму оснований:
S=CH*(ВС+АД):2 S=(144/26)*13/2=36 (ед. площади)
-------
У прямоугольной трапеции есть свойство: 
площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности,  равна произведению ее оснований, что  и подтверждается данным решением. 

Смотрим рисунок:
Пусть  - медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр (в равностороннем Δ-ке они совпадают между собой). О - точка пересечения трёх таких линий, как  (остальные две на чертеже я не стал чертить). О - центр вписанной и описанной окружностей.
Находим длину  через :



Далее вспоминаем свойство медиан треугольника (любого):
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом:



...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)