В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота де лит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 см больше другого. Найти длины сторон треугольника.

ответ: 1,6 см;  3,6 см; 5,2 см.

Объяснение:

   Назовём треугольник АВС; угол С=90°, АС:СВ=3:2, АН=ВН+2.

Примем ВН=х, АН=х+2.

Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: ⇒

АС²=АВ•АН=(х+х+2)•(х+2)=2•(х+1)•(х+2)

ВС²=АВ•ВН=(х+х+2)•х=2•(х+1)•х

По условию АС:ВС=3:2 => АС²:ВС²=3²:2²= 9:4

Подставим найденные выше значения катетов в пропорцию:

2•(х+1)•(х+2):2•(х+1)•х=9:4⇒

(х+2):х=9:4

5х=8 ⇒

BH=х=1,6

AН=1,6+2=3,6 см

АВ=2х+2=5,2 см

АС=√(5,2•3,6)=6√52

BC=√(5,5•1,6)=4√52

Проведи прямую через сторону, к которой будешь вести высоту (имеется ввиду сторону продли в обе стороны). Ножку циркуля ставишь в вершину угла, из которого будешь вести высоту и начерти дугу радиуса большего чем расстояние от вершины до стороны. Дуга пересечет прямую, содержащую сторону в двух точках.
Из каждой точки уже в другой полуплоскости проведи две дуги того же радиуса. 
Точку пересечения этих дуг соедини с вершиной треугольника. Эта прямая пересечет сторону в точке например Н. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой Н и будет искомая высота.

 Пусть луч С образует равные острые углы со сторонами а и b.
Рисунок: http://cs320523.vk.me/v320523893/56a2/e6StbuOKYME.jpg
Проведем отрезок АВ, как показано на рисунке. Он пересекает прямую с либо на луче С, либо на его дополнении, но его дополнение он пересекать не может, т. к. в этом случае дополнение луча С являлось бы биссектрисой, но по определению биссектриса не может образовывать со сторонами угла тупы углы.

Таким образом, луч С проходит между сторонами угла.

По определению биссектрисы луч С является биссектрисой, что и требовалось доказать.