Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если длина его стороны ровна 4√3?

AD^2=AC^2-DC^2
AD^2=48-12=36
AD=6
АD-высота в равностороннем треугольнике высоты делятся  точкой пересечения 2 к 1 считая от вершины.Радиус будет равняться 1/3 высоты т.е. 2

1)пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда M - центр треугольника ABC, следовательно, точка М равноудалена от вершин треугольника => перпендикуляр, восстановленный к плоскости треугольника ABC из точки М проходит через точку S.( М - проекция точки S на плоскость ABC). 
2) рассмотрим плоскость треугольника АВС. АМ - часть медианы от вершины А до точки пересечения медиан, тогда, согласно теореме о пересечении медиан, АМ=2/3*AA1, где AA1 - медиана из точки А. Рассмотрим треугольник АА1В. Он прямоугольный с острым углом 60 градусов, следовательно АА1 равна 3*sin60, 3*sqrt(3)/2, тогда АМ равна sqrt(3).
3) Рассмотрим треугольник AMS, где MS - расстояние от точки S до плоскости(длина перпендикуляра), а AS - искомое расстояние. Тогда, согласно теореме Пифагора, AS=sqrt(121+3)=sqrt(124)=2*sqrt(31).
ответ:2*sqrt(31).

Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника.
Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.