1) в окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности. 2) радиус окружности, описанной около правильного многоугольника равен 8 корней из 2 , а радиус вписанной в него окружности 8 см. найдите : 1. сторону многоугольника; 2. количество сторон многоугольника 3) углы правильного треугольника срезали так, что получили шестиугольник со стороной 8 см. найдите сторону данного треугольник.

1)9×2+3=21 2)8/2×8=16×2=32(см) 3)6+6×8=12×8=96(см)

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол А равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1, докажем, что треугольники равны.

Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.

Так как А1В1 равно А1В2, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С1 равен углу В2А1С2, то луч А1С2 совпадет с А1С1. Так как А1С1 равен А1С2, то С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.

Так как А1В2 равно А1В1, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С2 равен углу В1А1С1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А1С2 совпадет с А1С1, а В1С2 совпадет с В1С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, АС равно А1С1, и ВС равно В1С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1В1С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.

Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D – являются высотами, значит прямые А1D и В1D – перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ

Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС. 

Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

Из подобия следует отношение 

ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒

ВЕ:ВС=ВD:АВ

Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий. 

2-й признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 

Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать. 

Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.