Дано авсd – паралелограм. а(-4; -1; 5), в(-5; 4; 2), c(3; -2; -1 знайти координати вершини d.

Дано АВСD – параллелограмм. А(-4;-1;5), В(-5;4;2), C(3;-2;-1)

BC ║ AD    и     BC = AD


D(4; -7; 2)

Стороны прямоугольника обозначим буквами: ширина - а; длина - b. Пусть а=х, тогда по условию b=х+6; диагональ √68. Диагогаль делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: катеты такого треуголльника равны: х и (х+6), а гипотенуза  будет с=√68. Применим теорему Пифагора а²+b²=с².
х²+(х+6)²=√68²,
х²+х²+12х+36=68,
2х²+12х+36-68=0,
2х²+12х-32=0;   сократим на 2,  получим х²+6х-16=0. решаем квадратное уравнение и получаем х1=0,5(-6+-√(36+64))=(-6+10)/2=2. х2=-8 посторонний.
Ширина равна а=2; длина b=2+6=8.

Сторона трапеции, перпендикулярная основаниям и играющая роль высоты равна двум радиусам т.е.12. Пусть малое основпние равно х. Тогда сумма оснований 24+х. Эта же величина равна сумме боковых сторон, т.к. трапеция описана. Поэтому большая боковая сторона равна 24+х-12=12+х.

Теперь из вершины тупого угла С опустим СМ высоту на большое основанип АД, СД большая боковая сторона, МД=24-х.. Из прямоугольного треугольника СДМ имеем уравнение

144+(24-х)^2=(12+х)^2

144+576-48х+х^2=144+24х+х^2

72х=576

х=8 длина верхнего основания.

Площадь равна

(24+8):2*12=32*6=192.