Утрикутнику авс проведено медіану во завдовшки 6 см і висоту вd. кут dво між ними дорівнює 30°. знайдіть основу ас якщо dс=5см.

∆АDC:
Т.к. угол D=30°, а В=30°, то по свойству стороны, лежащей напротив угла 30° в прямоуг.треуг.: DO=1/2 OB=3см
ОС=DC-DO=2см
т.к. ВО медиана, то ОС=АО=2см
АС=ОС+АО=2+2=4 см

tg α =40/9.

sin α=40/41

cos α=9/41.

Объяснение (подробно):

Котангенсом угла (ctg α ) в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тангенсом называется отношение противолежащего  катета к прилежащему.

Если прилежащий катет равен 9, то противолежащий - 40.

Катеты 9 и 40 - из пифагоровых троек (Пифагоровыми тройками чисел называются числа, равные длинам сторон прямоугольного треугольника и удовлетворяющие  формуле Пифагора. Причем, не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки). Поэтому для данного сочетания катетов гипотенуза равна 41 ( проверьте по т.Пифагора).

Итак, если ctg α=9/40, то тангенс - число, обратное данному, т.е. tg α =40/9.

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α=40/41,

соответственно косинус угла = отношение прилежащего катета к кипотенузе:

cos α=9/41.

8.1 Площадь равнобедренной трапеции равна:
S=(a+b)/2*h, где
a и b - основания трапеции (11 и 27)
h - высота
Отсюда, высота равна:
h=S:(a+b)/2=2S:(a+b)=2*285:(11+27)=225:38=15
Т.е. BE (см. рисунок 1) = 15
AE=FD=(27-11):2=16:2=8
По теореме Пифагора:
AB²=BE²+AE²=15²+8²=225+64=289
AB=√289=17
Боковая сторона трапеции равна 17. Т.к. трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны: AB=CD=17
Периметр — это сумма боковых сторон и оснований, который равен:
Р=11+27+17+17=72
ответ: периметр равен 72.

8.2. Найти высоту правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности, равен 10 см.

R=10

т.к. ΔАВС - равносторонний, следовательно ∠А=∠В=∠С=60°

R=a/2sin60=a/√3 

тогда a=R√3=10√3

h=√3/2*a=√3*a/2=√3*10√3/2=√9*10/2=3*10/2=15
ответ: высота правильного треугольника равна 15

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках Mи Nсоответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.
Пусть х - длина ВN.
Тогда, ВС=х+32
Составим и решим пропорцию:
MN:AC=BN:BC
 17/51=х/(х+32) (умножим на 51, чтобы избавиться от дроби)
17=51х/(х+32)
17*(x+32)=51x
17x+544=51x
17x-51x=-544
-34x=-544
34x=544
x=16
ответ: BN=16