Угол аов равен 90 градусов. точка к обозначена внутри угла. расстояние от точки до стороны угла и до вершины равны на целые числа. какое самое минимальное значение расстояние ко.

Пусть КМ - расстояние от точки К до стороны угла. Получим прямоугольный тр-к ОКМ, в котором КМ и ОМ - катеты, КО - гипотенуза.
По условию задачи КМ и ОК должны быть целыми числами, про ОМ ничего не сказано, значит, оно может быть иррациональным.
По теореме Пифагора:
КО²=КМ²+ОМ²
минимальное целое число 1 для КО исключено, т.к. тогда КМ<КО не может быть целым числом.
Пусть КО=2:
2²=1²+(√3)²
т.е. КО=2, КМ=1, пример подобран, условия задачи соблюдены.
Значит, самое минимальное значение расстояние КО=2.

Прямой называется призма, боковое ребро которой  перпендикулярно плоскости основания. Все боковые грани прямой призмы прямоугольники.Основание призмы тоже прямоугольник (дано).
а). Искомая линия пересечения - перпендикуляр dh, опущенный на прямую bd1, так как прямая bd1 и точка d принадлежат плоскости bb1d1b, а через точку можно провести только один перпендикуляр к прямой. Он и будет принадлежать обеим плоскостям, то есть являться линией пересечения двух плоскостей.
б). Прямые ас и b1d1 лежат в параллельных плоскостях, значит расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями, то есть равно высоте данной нам призмы. Диагональ bd основания призмы (прямоугольника) находится по Пифагору:
bd=√(ab²+ad²)=√(25+11) = 6. Диагональ прямой призмы bd1 равна по Пифагору:
bd1=√(ab²+ad²+dd1²)= √(25+11+144)=√180=6√5.
Итак, мы имеем прямоугольный треугольник bdd1, в котором dh является высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Следовательно, искомый угол <bdh равен углу <dd1b, тангенс которого равен отношению противолежащего катета bd к прилежащему катету dd1, то есть tg<bdh=bd/dd1 =6/12 = 0,5.
ответ:  тангенс искомого угла равен 0,5.

АС и B1D1 - это скрещивающиеся диагонали противоположных граней (оснований), поэтому расстояние между ними равно высоте призмы (или боковым ребрам). 

ВВ1 = 5;

Что касатеся основного вопроса задачи, то ответ лежит на поверхности. Нужно найти угол (косинус) между плоскостями, перпендикулярными ВD1 и ВВ1 (это - плоскость основания :)). Поскольку эти прямые пересекаются в точке В, нужный угол очевидно равен углу D1BB1 - как бы не была расположена плоскость сечения и как бы не был построен искомый линейный угол двугранного угла, его стороны будут перпендикулярны сторонам угла D1BB1 .

Осталось найти диагональ BD1

BD1^2 = 12^2 + 31 + 5^2  = 200; BD1 = 10√2;

cos(угол D1BB1) = В1В/D1B = 5/(10√2) = √2/4;