Урівносторонньому трикутнику abc проведена бісектриса al. довести, що а) bl=lc; б) al перпендикулярна bc.

а) в рівнобедренному трикутнику бісектриса проведена з вершини тикутника ділить протилежну сторону навпіл.

б) в рівнобедренному трикутнику бісектриса є одночасно медіаною і висотаю, а висота проведена до основи утворює кут дев яносто градусів. отже аl перпендикулярна вс.

1площадь равнобедренного треугольника равна s, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. найдите длину основания треугольника.назовем данный треугольник авс, а точку пересечения медиан из а и с - буквой о.  опустим из вершины в медиану вн на ас. т.к. треугольник равнобедренный, вн еще и высота треугольника и перпендикулярна ас.  ан=нс.  треугольник аос - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники аон и сон равны.  он=ан=сн.  медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины.во: он=2: 1.тогда вн=3 он. но он=ас/2  высота вн=3ас/2  s=h*a: 2  а=ас  h=bн=3ас/2=3а/2  s=(3а/2)*а: 2  s=3а²/4  а²=4s/3  а=√(4s/3)=2√(s/3 2.прямая, перпендикулярная диаметру mn полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке к, (мк: кn=2: 10), а дугу полуокружности в точке l. найдите радиус окружности,  касающейся отрезков  lk, kn и дуги ln.соединим l, m и n. треугольник     lmn -    прямоугольный, т.к. угол мln опирается на диаметр.   lк   в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков мк и кn гипотенузы (диаметра) mn.  mn=2r=6*2=12.тогда мк=2, кn=10lk²=mk*kn-2*10=20   lk=√20=2√5центр вписанной в угол окружности лежит на   биссектрисе.   биссектриса   угла lkn   делит прямой угол lkn на два по 45°  пусть точка касания окружности с кn будет е, а со второй касательной из n - т.  тогда по свойству касательных из одной точки  еn=  nt,  а nl - биссектриса угла knt.   точка о   пересечения биссектрис углов  knт  и lkn - центр вписанной окружности.  расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.  ое⊥kn.  от⊥nt  ое=от=r    угол ktn=90°   так как угол ткn равен 45°,    прямоугольный треугольник ktn-   равнобедренный.  тн  ⊥  mn -   высота, биссектриса и медиана равнобедренного  ⊿ ktn  ⇒  по свойству медианы прямоугольного треугольника кн=нn=тн=10: 2=5  кт =кн: (cos 45°)=5: (√2)/2=5√2  рассмотрим треугольники ктн и kоe. они прямоугольные, имеют общий угол при к  ⇒ они  подобны.  кт: kо=th: oe  ое=от=r  ko= кт-от=5√2-r  5√2: (5√2-r)=5: r произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.  5√2 r=5*(5√2-r) сократим на 5:   √2 r=5√2  -r  √2 r+r=5√2    r*(√2 +1)=5√2     числитель   и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1) r= 5√2:   (√2+1)= 5√2*(√2-1): (2-1)=5*(2-√2)=≈2,93

площадь боковой поверхности цилиндра:

sбок = 2πr · h,

где r - радиус основания цилиндра, h - его высота.

40π = 2πr · 5

r = 4 см.

пусть с - центр нижнего основания, в - центр верхнего.

ск = сd = r = 4 см

δckd - прямоугольный, равнобедренный, значит

kd = ck√2 = 4√2 см.

пусть н - середина отрезка kd, тогда сн - медиана и высота δckd, а медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:

сн = kd/2 = 2√2 см

из прямоугольного треугольника всн по теореме пифагора:

вн = √(вс² + сн²) = √(25 + 8) = √33 см