Вравнобедренном треугольнике abc с основанием bc проведена медиана am. найдите периметр треугольника abm, если медиана am равена 18, 1 см, а периметр треугольника abc равен 153, 4 см.

Решение в прикрепленном файле

Из за того, что один из отрезков равен радиусу, угол треугольника с вершиной в конце этого отрезка - прямой (там получается ромб из 2 отрезков касательных и из 2 радиусов, ясно что это квадрат, поскольку углы между касательными и радиусами в точки касания прямые). 

Для прямоугольного треугольника  стороны a = 4 + 5 = 9; b = x + 4; c = x + 5; связаны теоремой Пифагора. (x  - единственный неизвестный из отрезков, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны)

(x + 4)^2 + 9^2 = (x + 5)^2;

4^2 + 9^2 - 5^2 = 2*x;

x = 36;

Стороны 9, 40, 41, это известная Пифагорова тройка (наподобие 3,4,5 или 5,12,13)

1.

A=60⁰

В=40⁰

с=14 см

C=180⁰-60⁰-40⁰=80⁰

AB/SinC=BC/SinA=AC/SinB

14/Sin80=a/Sin60 ⇒ a≈14/0.984*0.86≈12.236

14/Sin80=b/Sin40 ⇒ b≈14/0.984*0.642≈9.134

2.

A=80⁰

a=16 см

b=10 см

AB/SinC=BC/SinA=AC/SinB

16/Sin80=10/SinB ⇒ SinB≈10*0.9848/16≈0.6155

B=37⁰59'

C=180-80-37⁰59'=100-37⁰59'=62⁰1'

16/Sin80=c/Sin62⁰1' ⇒ c≈16*0.8830/0.9848≈14.346

3.

b=32 см

с=45 см

A=87⁰

a²=c²+b²-2acSinA ⇒ a²≈1024+2025+150.624 ≈2998.38 ⇒ a≈53.84

AB/SinC=BC/SinA=AC/SinB

53.84/Sin87=32/SinВ ⇒ SinB≈32*0.9986/53.84≈0.5935

B=36⁰24'

C=180⁰-87⁰-36⁰24'=100⁰-36⁰24'=56⁰36'