1.прямая паралельная сторона ас треугольника авс пересекает стороны ав и вс в точках м и н соответственно, ас=48, мн=40. площадь треугольника авс равна 72. найдите площадь треугольника мвн. 2.в треугольнике авс известно, что ав=12, вс=15 sin углаавс=4/9. найдите площадь треугольника авс.

1. MH║AC  ⇒  ∠BAC=∠BMH;  ∠BHM=∠BCA как соответственные углы
⇒ ΔABC~ΔMBH по двум равным углам  ⇒

k = 1,2  коэффициент подобия
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате



2.  Площадь треугольника по формуле S = 1/2 ab sinα
S = 1/2 AB*BC*sin∠ABC = 1/2*12*15*4/9 = 40

Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный

решил выкласть решение.
смотри рисунок.
понятно, что отрезки катетов есть отрезки касательных, они равны.
Сделаем все обозначения.
гипотенуза будет  1)  х+у=2R
По т. Пифагора
(x+r)²+(y+r)²=(x+y)²
раскрывая, получаем
r(x+y)+r²=xy       подставляем сюда 1) и получаем
xy=2Rr+r²
из 1) выделяем у и подставляем, приводим и т.д. и получаем

x²-2Rx+(2Rr+r²)=0
D=4(R²-2Rr-r²)
x=R+/- √(R²-2Rr-r²)   но т.к. x≤R  то  тогда
x=R- √(R²-2Rr-r²)
ну а нижний катет желтого треугольника тогда равен
 √(R²-2Rr-r²)
найдем гипотенузу желтого

r²+(√(R²-2Rr-r²) )²=z²
z²=R²-2Rr
z=√(R*(R-2r))

P.S.  Здесь я не сделал исследование по поводу допустимых значений  радиусов.  Просто не захотел, т.к. удлиняет решение.