Из вершины а правильного треугольника abc проведен к его плоскости перпендикуляр ам. точка м соединена с точками b и c. тангенс угла, образованного стороной мb с плоскостью треугольника abc, равен 0, 5. найдите двугранный угол, образованный плоскостями abc и mbc

ΔABC :  AB = BC = AC = b
AM⊥(ΔABC) ⇒ ∠MAB = ∠MAC = 90°

ΔMAB :  ∠MAB = 90°; tg∠MBA = 0,5  ⇒
MA = AB*tg∠MBA = 0,5b

ΔABC : AK⊥BC  ⇒ AK = b*sin60° = b√3/2
AB=AC - проекции наклонных на плоскость равны ⇒ 
равны наклонные  MB = MC  ⇒
ΔBMC - равнобедренный  ⇒  MK⊥BC  ⇒
∠MKA равен двугранному углу между плоскостями  MBC и ABC.

ΔMKA : ∠MAK = 90°; MA = 0,5b;  AK = b√3/2  ⇒
tg∠MKA = MA / AK = 0,5b / (b√3/2) =   ⇒
∠MKA = 30°

ответ: двугранный угол равен 30°

R=О1В=5, r=О2В=3. АВС - равносторонний треугольник. m - общая касательная.
Пусть ∠МВС=х, тогда ∠АВМ=60-х.
Углы МВС и АВМ - углы между касательной и хордой, значит ∠АО1В=2(60-х) и ∠СО2В=2х.
Формула хорды: l=2Rsin(α/2), где α - градусная мера хорды.
АВ=2·О1В·sin(60-х)=2R·sin(60-x),
ВС=2·О2В·sinx=2r·sinx,
АВ=ВС, значит
2R·sin(60-x)=2r·sinx,
2·5(sin60·cosx-cos60·sinx)=2·3sinx,
10(√3cosx/2-sinx/2)=6sinx,
5√3cosx-5sinx=6sinx,
11sinx=5√3cosx,
11tgx·cosx=5√3cosx,
tgx=5√3/11.
-----------------------------------------------
tg²x+1=1/cos²x,
tg²x+1=1/(1-sin²x),
1-sin²x=1/(tg²x+1),
sin²x=1-[1/tg²x+1)],

sinx=5√3/14.
------------------------------------------------
Итак, ВС=2r·sinx=6·5√3/14=15√3/7≈3.7 см - это ответ.

R=О1В=5, r=О2В=3. АВС - равносторонний треугольник. m - общая касательная.
Пусть ∠МВС=х, тогда ∠АВМ=60-х.
Углы МВС и АВМ - углы между касательной и хордой, значит ∠АО1В=2(60-х) и ∠СО2В=2х.
Формула хорды: l=2Rsin(α/2), где α - градусная мера хорды.
АВ=2·О1В·sin(60-х)=2R·sin(60-x),
ВС=2·О2В·sinx=2r·sinx,
АВ=ВС, значит
2R·sin(60-x)=2r·sinx,
2·5(sin60·cosx-cos60·sinx)=2·3sinx,
10(√3cosx/2-sinx/2)=6sinx,
5√3cosx-5sinx=6sinx,
11sinx=5√3cosx,
11tgx·cosx=5√3cosx,
tgx=5√3/11.
-----------------------------------------------
tg²x+1=1/cos²x,
tg²x+1=1/(1-sin²x),
1-sin²x=1/(tg²x+1),
sin²x=1-[1/tg²x+1)],

sinx=5√3/14.
------------------------------------------------
Итак, ВС=2r·sinx=6·5√3/14=15√3/7≈3.7 см - это ответ.