3. в ∆abc проведена биссектриса bd , ∠a = 75° , ∠c = 35° . a) докажите, что ∆bdc равнобедренный. b) сравните отрезки ad и dc .

Рассмотрим ΔАВС. ∠В=180-∠А-∠С=180-75-35=70°. ∠DВС=1/2∠АВС=35°⇒
∠DВС=∠С,  ΔВDС является равнобедренным, что и требовалось доказать. 
В ΔАВD ∠А больше ∠АВD, значит ВD больше АD, ВD=DС⇒
DС больше АD.

Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают между собой. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны." Решение: Итак, треугольники АМD и DNC - равны между собой, так как AD=DC (BD- медиана), NC=МA (так как МВ=BN - дано, а АВ=ВС - треугольник АВС равнобедренный) и улы ВАС и ВСА между равными сторонами равны. Из равенства тр-ков вытекает равенство сторон МD и ND. Что и требовалось доказать

а) Обозначим за O - центр описанной окружности. Тогда OC=OB=OA как радиусы этой окружности. Из условия O - проекция точки S на плоскость основания, а значит ∠SOC=∠SOB=∠SOA=90°; Рассмотрим три прямоугольных треугольника: SOA, SOB, SOC: SO - их общая сторона, OA=OB=OC; Значит, они равны и, в частности, SA=SB=SC, что и требовалось.

б) Поскольку PQ параллельна плоскости основания и лежит в одной плоскости с CB, то она параллельна CB. Так как Q - середина SB, то PQ - средняя линия треугольника SCB. Отсюда следует, что площади треугольников SPQ и SCB относятся соответственно как 1:4 (4 - квадрат коэффициента подобия)

Теперь рассмотрим сами пирамиды. Пусть SPQ и SCB - их основания. Значит у этих пирамид относительно этого основания общая высота. Следовательно, объемы пирамид относятся как площади соответствующих оснований, т.е. 1:4.

Заметим, что 9²+(2√6)²=(√105)², значит, треугольник ABC - прямоугольный. Объем пирамиды SABC: V=SH/3=((9*2√6)/2)*10/3=30√6

Искомый объем в четыре раза меньше, т.е. равен (15√6)/2