Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 4 раза, а апофему - в 6 раз?

Площадь боковой поверхности:

где a- сторона основания пирамиды
b-апофема (высота)

S/S2=1/24, т.е. площадь 1 боковой стороны увеличится в 24 раза.
Т.к. все боковые стороны равны, то общая площадь увеличится в 72 раза.

Пусть О - центр окружности.
Треугольники АОВ и АОД - равносторонние, значит, все углы по 60 градусов.
Рассмотрим четырехугольник АВСД:
Угол А=угол ОАД+угол ОАВ=120 градусов.
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов 180, значит, угол С=180-120=60 градусов.
Треугольники СОД и СОВ - равнобедренные, значит, углы при основании равны.
Угол ДОС=углу ВОС=60:2=30 градусов, => угол ОВС=углу ОДС=30 градусов.
Угол СОД=углу СОВ=180-(30+30)=120.
Четыр-ник:
Угол Д=Углу В=60+30=90 градусов.
Центральный угол равен дуге, на которую опирается, значит дуга АВ=дуге АД=60 градусов, дуга ВС=дуге СД=120 градусов.
ответ: Углы четырехугольника: 120, 90, 60, 90; градусные меры дуг: 60, 120, 120, 60.

 А1                          С1              В1       Точки В1, С1, А1 принадлежат прямой l. 
                                                            Это точки касания. ВВ1=в, АА1=а
 С2                          С              C3        Проводим перпендикуляр СС2 на АА1.    
                                                            СА=а+с, АС2=а-с. Из тр-ка АС2С 
 B2                                           В        CC2^2=(a+c)^2+(a-c)^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac- 
                                                          -c^2=4ac. CC2=A1C1. Аналогично из тр-ка
                                                          СС3В  CC3^2=bc.  CC3=CB1. Из тр-ка АВВ2
А                                                      где АВ=a+b, AB2=a-b  BB2^2=4ab. BB2=A1B1

A1B1=A1C1+C1B1. 2Vab=2Vac+2Vbc  Vab=Vac+Vbc=Vc(Va+Vb)  1/Va+1/Vb=1/Vc
1/V36+1/V16=1/Vc  1/6+1/4=1/Vc Vc=2,4  c=5,76
ответ: радиус окружности 5,76