Средние линии треугольника относятся как 3: 4: 5. периметр треугольника =60 см. стороны треугольника - ?

Средняя линия треугольника равна половине длины стороны, которой параллельна.  
Длины сторон треугольника относятся так же, как и средние линии
3 : 4 : 5   ⇒   3+4+5 = 12   (периметр разделен на 12 равных частей)
60/12 = 5 см    (размер одной части)
3 * 5 = 15 см   (первая сторона треугольника)
4 * 5 = 20 см   (вторая сторона треугольника)
5 * 5 = 25 см   (третья сторона треугольника)

ответ: стороны треугольника  15 см, 20 см, 25 см

Нарисуй чертеж
ВМ=МС=а
AN=ND=b  (это обозничили мы так)
треугольники APN и MPB подобны с коэффициентом  b/a,и высоты тоже

треуг. NQD и CQM подобны с тем же коэфф  b/a  и высоты тоже.
но если у треуг. APN  и  NQD  AN=ND, то и высоты равны. Т.е. точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от AD
что и требовалось доказать.

если по поводу высот , что они равны , непонятка, то это следует из того, что отношения высот малого и большого треуг. равно одному и тому же коэффициенту, а сумма этих высот постоянна (высота трапеции)

Треугольная пирамида, все боковые ребра равны, => высота пирамиды проектируется в центр описанной около треугольника (основания пирамиды) окружности.
радиус описанной около произвольного  треугольника окружности вычисляется по формуле:

AC=1, BC=2, <C=60°. AB=?
по теореме косинусов:
AB²=AC²+BC²-2*AC*Bc*cos<C
AB²=1²+2²-2*1*2*cos60°
AB²=3,  AB=√3

прямоугольный треугольник:
гипотенуза с=√13 - боковое ребро пирамиды
катет а=√3 радиус описанной около треугольника окружности
катет Н -высота пирамиды, найти по теореме Пифагора:
c²=a²+H², H²=(√13)²-(√3)². H=√10